Campo di spezzamento di un polinomio a coefficienti in Z3
Salve, vorrei un parere su questo esercizio che ho svolto, ma su cui ho dei dubbi e vorrei un vostro parere:
Si consideri $f(x)=x^4+x^3+x-1 \in Z_3[x]$, calcolare il campo di spezzamento.
è facile verificare che $f(x)=(x^2+1)(x^2+x-1)$ le cui radici sono $+-i; \alpha_{1,2}$ dove $\alpha_{1,2}$ sono $\frac{-1+-\sqrt{5}}{2}$.
Entrambi i polinomi sono irriducibili in $Z_3$ non avendo radici, quindi i rispettivi campi di spezzamento sono $Z_3(i)$ e $Z_3(\alpha)$, cioè il campo di sp. di f è $Z_3(i,\alpha)$
SI ha che $Z_3(i,\alpha)=Z_3(\alpha)(i)$ e che $[Z_3(\alpha):Z_3]=2$, quindi basta calcolare la dimensione di $Z_3(i,\alpha)$ come $Z_3(\alpha)$-spazio vettoriale; quindi per fare ciò basta calcolare il polinomio minimo $g \in Z_3(\alpha)$ tale che $g(i)=0$ (infatti in tali ipotesi $[Z_3(i,\alpha):Z_3(\alpha)]=deg(g)$), cioè equivalentemente trovare un $g \in Z_3(\alpha)$ tale che $g(i)=0$ e tale che $g$ sia irriducibile in $Z_3(\alpha)$.
Si vede sempre facilmente sfruttando l'identità $\alpha^2=1-\alpha$ che $x^2+1=(x-1-2\alpha)(x+1+2\alpha)$ (sempre in $Z_3$), cioè $(x^2+1)$ non è il polinomio minimo di $i$ su $Z_3(\alpha)$; ne deduco che il polinomio minimo ha grado 1, cioè che $[Z_3(i,\alpha):Z_3(\alpha)]=1$ che implica $Z_3(i,\alpha)=Z_3(\alpha)$.
I dubbi che mi fanno pensare di aver sbagliato qualcosa sono diversi, ad esempio il mio ragionamento implicherebbe che
$i \in Z_3(\alpha)$; oppure $1+2\alpha=+-\sqrt{5}$ e $(\sqrt{5})^2$ non è di certo -1.
Ditemi dove sbaglio per favore!
Si consideri $f(x)=x^4+x^3+x-1 \in Z_3[x]$, calcolare il campo di spezzamento.
è facile verificare che $f(x)=(x^2+1)(x^2+x-1)$ le cui radici sono $+-i; \alpha_{1,2}$ dove $\alpha_{1,2}$ sono $\frac{-1+-\sqrt{5}}{2}$.
Entrambi i polinomi sono irriducibili in $Z_3$ non avendo radici, quindi i rispettivi campi di spezzamento sono $Z_3(i)$ e $Z_3(\alpha)$, cioè il campo di sp. di f è $Z_3(i,\alpha)$
SI ha che $Z_3(i,\alpha)=Z_3(\alpha)(i)$ e che $[Z_3(\alpha):Z_3]=2$, quindi basta calcolare la dimensione di $Z_3(i,\alpha)$ come $Z_3(\alpha)$-spazio vettoriale; quindi per fare ciò basta calcolare il polinomio minimo $g \in Z_3(\alpha)$ tale che $g(i)=0$ (infatti in tali ipotesi $[Z_3(i,\alpha):Z_3(\alpha)]=deg(g)$), cioè equivalentemente trovare un $g \in Z_3(\alpha)$ tale che $g(i)=0$ e tale che $g$ sia irriducibile in $Z_3(\alpha)$.
Si vede sempre facilmente sfruttando l'identità $\alpha^2=1-\alpha$ che $x^2+1=(x-1-2\alpha)(x+1+2\alpha)$ (sempre in $Z_3$), cioè $(x^2+1)$ non è il polinomio minimo di $i$ su $Z_3(\alpha)$; ne deduco che il polinomio minimo ha grado 1, cioè che $[Z_3(i,\alpha):Z_3(\alpha)]=1$ che implica $Z_3(i,\alpha)=Z_3(\alpha)$.
I dubbi che mi fanno pensare di aver sbagliato qualcosa sono diversi, ad esempio il mio ragionamento implicherebbe che
$i \in Z_3(\alpha)$; oppure $1+2\alpha=+-\sqrt{5}$ e $(\sqrt{5})^2$ non è di certo -1.
Ditemi dove sbaglio per favore!
Risposte
ciao 
Ne sei sicuro? Ricorda che siamo in un'estensione di $ZZ_3$ e quindi $5 \equiv -1 \mod 3$.
Ne sei sicuro? Ricorda che siamo in un'estensione di $ZZ_3$ e quindi $5 \equiv -1 \mod 3$.
Ehi ciao, grazie di avermi risposto innanzitutto!
Effettivamente si, hai ragione, non ci ho pensato xD
Sta di fatto che mi risulta strano ancora, ad esempio: perchè $\alpha^3$ non è radice del secondo fattore irriducibile? Eppure come ho richiamato nello spoiler, se si ha un automorfismo del campo di spezzamento, l'immagine di una radice del polinomio minimo è ancora una radice del polinomio!
Effettivamente si, hai ragione, non ci ho pensato xD
Sta di fatto che mi risulta strano ancora, ad esempio: perchè $\alpha^3$ non è radice del secondo fattore irriducibile? Eppure come ho richiamato nello spoiler, se si ha un automorfismo del campo di spezzamento, l'immagine di una radice del polinomio minimo è ancora una radice del polinomio!
"Malleolo":
Ehi ciao, grazie di avermi risposto innanzitutto!
Effettivamente si, hai ragione, non ci ho pensato xD
Sta di fatto che mi risulta strano ancora, ad esempio: perchè $\alpha^3$ non è radice del secondo fattore irriducibile? Eppure come ho richiamato nello spoiler, se si ha un automorfismo del campo di spezzamento, l'immagine di una radice del polinomio minimo è ancora una radice del polinomio!
Non è vero: $\alpha^3 = \alpha - \alpha^2 = \alpha - (1-\alpha) = 2\alpha - 1$
Sostituendo in $x^2 - x + 1$ ottieni $(2\alpha - 1)^2 + (2\alpha - 1) - 1= 4\alpha^2 + 1 - 4\alpha + 2\alpha - 1 - 1 = 4(1-\alpha) -2\alpha -1 = 4 - 4\alpha - 2\alpha - 1 = 3 - 6\alpha = 0$ perché $3 \equiv 6 \equiv 0 mod 3$.
Quindi $\alpha^3$ è una radice del polinomio in questione.
Che dubbi fessi che avevo, feci gli stessi conti, ma mi fermai a $3-6\alpha$; troppi conti oggi, il mio cervello va in fumo (domani ho los critto di Algebra 2).
Deduco che il mio ragionamento non è sbagliato
Ti ringrazio del tempo che mi hai dedicato!
P.s. adoro Van Gogh, quindi fatti fare i complimenti per il gusto nella scelta dell'immagine
Deduco che il mio ragionamento non è sbagliato
Ti ringrazio del tempo che mi hai dedicato!
P.s. adoro Van Gogh, quindi fatti fare i complimenti per il gusto nella scelta dell'immagine
Di nulla
Grazie per il complimento e in bocca al lupo per domani!
Grazie per il complimento e in bocca al lupo per domani!
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