Campo di spezzamento di un polinomio
Ciao a tutti, ho un dubbio con questo esercizio:
Si consideri il polinomio $ f=(x^2+1)(x^4+x^2+1) in QQ[x] $; calcolare il campo di spezzamento $ E $ di $ f $ su $ QQ $. Poi determinarne il grado e una sua base.
Allora mi sono subito trovata le radici di $ f$: $ alpha_1=i $ , $ alpha_2=-i $ , $ alpha_3=-sqrt(-1+isqrt(3)) $, $ alpha_4=sqrt(-1+isqrt(3)) $ , $ alpha_5=-sqrt(1+isqrt(3)) $, $ alpha_6=sqrt(1+isqrt(3)) $.
Nessuna di queste radici appartiene a $ QQ $ pertanto credo sia giusto affermare che il campo di spezzamento sia $ E=QQ[i, sqrt(3)] $ giusto?
Per quanto riguarda il grado, noi sappiamo che il grado di $ E $ su $ QQ $ è minore o uguale di $ 6! $ e inoltre sappiamo che: $ [QQ(i, sqrt(3)):QQ]=[QQ(i):QQ(sqrt(3))][QQ(i):QQ] $ con $ [QQ(i):QQ]=6$.
E' giusto questo ragionamento? Come posso quindi concludere?
Si consideri il polinomio $ f=(x^2+1)(x^4+x^2+1) in QQ[x] $; calcolare il campo di spezzamento $ E $ di $ f $ su $ QQ $. Poi determinarne il grado e una sua base.
Allora mi sono subito trovata le radici di $ f$: $ alpha_1=i $ , $ alpha_2=-i $ , $ alpha_3=-sqrt(-1+isqrt(3)) $, $ alpha_4=sqrt(-1+isqrt(3)) $ , $ alpha_5=-sqrt(1+isqrt(3)) $, $ alpha_6=sqrt(1+isqrt(3)) $.
Nessuna di queste radici appartiene a $ QQ $ pertanto credo sia giusto affermare che il campo di spezzamento sia $ E=QQ[i, sqrt(3)] $ giusto?
Per quanto riguarda il grado, noi sappiamo che il grado di $ E $ su $ QQ $ è minore o uguale di $ 6! $ e inoltre sappiamo che: $ [QQ(i, sqrt(3)):QQ]=[QQ(i):QQ(sqrt(3))][QQ(i):QQ] $ con $ [QQ(i):QQ]=6$.
E' giusto questo ragionamento? Come posso quindi concludere?
Risposte
Prima di tutto devi far vedere che nel campo di spezzamento che hai detto te che possa andar bene (aggiungendo le radici $i$ e $3^(1/2)$) possano essere generate le 4 radici di quel polinomio di quarto grado.
Fatto questo, se vero, puoi applicare quella formula che hai detto tu.
In teoria per conoscere il grado o mostri una base o fai vedere quanto sia il grado del polinomio minimo della radice aggiunta nel campo precedente.
Ad esempio
$[Q(i) : Q] = 2$ poichè il polinomio minimo di $i$ è $x^2 + 1$ che ha grado 2 su $Q$
Ugualmente $[Q(3^(1/2)) : Q(i)] = 2$ poichè il polinomio minimo di quella radice è $x^2 - 3$ che ha grado 2 su $Q(i)$.
Ora se non ho fatto errori, avremo (se verifichi quanto detto all'inizio) che il grado del campo di spezzamento è 4 e quindi potresti trovarne una base di 4 elementi linearmente indipendenti. 4 divide il fattoriale di 6 quindi andrebbe anche bene...
Fatto questo, se vero, puoi applicare quella formula che hai detto tu.
In teoria per conoscere il grado o mostri una base o fai vedere quanto sia il grado del polinomio minimo della radice aggiunta nel campo precedente.
Ad esempio
$[Q(i) : Q] = 2$ poichè il polinomio minimo di $i$ è $x^2 + 1$ che ha grado 2 su $Q$
Ugualmente $[Q(3^(1/2)) : Q(i)] = 2$ poichè il polinomio minimo di quella radice è $x^2 - 3$ che ha grado 2 su $Q(i)$.
Ora se non ho fatto errori, avremo (se verifichi quanto detto all'inizio) che il grado del campo di spezzamento è 4 e quindi potresti trovarne una base di 4 elementi linearmente indipendenti. 4 divide il fattoriale di 6 quindi andrebbe anche bene...
Non riesco a provare che aggiungendo le radici che $ i $ e $ sqrt(3) $ posso generare le d radici del polinomio.
Ad esempio prendendo $ sqrt(1+isqrt(3))$ e utilizzando la formula dei radicali doppi, abbiamo che:
$ sqrt(1+isqrt(3)) = sqrt(3) / sqrt(2) + sqrt(-i) / sqrt(2) $. A questo punto devo aggiungere $ sqrt(2) $ al campo di spezzamento?
Ad esempio prendendo $ sqrt(1+isqrt(3))$ e utilizzando la formula dei radicali doppi, abbiamo che:
$ sqrt(1+isqrt(3)) = sqrt(3) / sqrt(2) + sqrt(-i) / sqrt(2) $. A questo punto devo aggiungere $ sqrt(2) $ al campo di spezzamento?
Dovrebbe andare bene (la formula dei radicali doppi mi fido xD). Ora mi pare che tutto sia generabile aggiungendo anche quella radice no?
A questo punto il grado dovrebbe aumentare. Fai come hai /ho fatto prima e verificane il grado, a quel punto la base è semplice da trovare. (oppure fai il contrario trova la base e deducine il grado)
A questo punto il grado dovrebbe aumentare. Fai come hai /ho fatto prima e verificane il grado, a quel punto la base è semplice da trovare. (oppure fai il contrario trova la base e deducine il grado)
Quindi il campo di spezzamento dovrebbe essere $ QQ(sqrt(3), sqrt(2), i) $ e il suo grado é: $ [QQ(sqrt(3), sqrt(2), i) : QQ]=[QQ(sqrt(3)):QQ(sqrt(2))] [QQ(sqrt(2)): QQ(i)][QQ(i): QQ]= 2*2*2=8 $ ?
E una base come la determiniamo?
E una base come la determiniamo?
Corretto. Alcune volte però (non è questo il caso mi pare) devi stare attento/a che i campi di spezzamento possono includersi fra di loro e "ramificarsi" e molte volte i gradi siccome sono divisibili fra loro (tra quelli che si includono) possono presentarsi un po' strani.
Qui non era difficile. Comunque per trovare una base devi semplicemente trovare tanti elementi quanti il grado corrente, che siano linearmente indipendenti e assieme generino ogni elemento (linearmente indipendenti potresti vederlo come "non generabili dagli altri 7). E' ovvio che se hai aggiunto a $Q$ 3 elementi, vuol dire che siccome che $Q$ è generato solo dall' unità 1, gli altri non sono generati dall'1. In particolare quindi 3 elementi della base oltre l'1 sono $i$ e le due radici quadrate. Gli altri?
Qui non era difficile. Comunque per trovare una base devi semplicemente trovare tanti elementi quanti il grado corrente, che siano linearmente indipendenti e assieme generino ogni elemento (linearmente indipendenti potresti vederlo come "non generabili dagli altri 7). E' ovvio che se hai aggiunto a $Q$ 3 elementi, vuol dire che siccome che $Q$ è generato solo dall' unità 1, gli altri non sono generati dall'1. In particolare quindi 3 elementi della base oltre l'1 sono $i$ e le due radici quadrate. Gli altri?
Gli altri elementi sono i prodotti delle radici? Cioè $ sqrt(2)sqrt(3)$ , $ i sqrt(3) $ , $ i sqrt(2) $. Ma così me ne manca uno.
Così ne abbiamo elencati 6 su 8.
Ricordati che come hai potuto moltiplicare $i$ con le radici quadrate, anche le radici quadrate si possono moltiplicare fra di loro generando un elemento nuovo.
Ricordati che come hai potuto moltiplicare $i$ con le radici quadrate, anche le radici quadrate si possono moltiplicare fra di loro generando un elemento nuovo.
Dovrebbe essere questa: ${1,i,sqrt(2),sqrt(3),sqrt(6),i sqrt(3), i sqrt(2), i sqrt(6) } $ giusto?
Tutto giusto 
ok grazie mille 
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