Campo di spezzamento
Vorrei un aiuto nel decifrare questa dimostrazione copiata dalla lavagna a lezione.
Siamo in un campo [tex]K[/tex] avente cardinalità [tex]q[/tex] e caratteristica [tex]p[/tex].
Sugli appunti c'è scritto che si vuole dimostrare che il polinomio [tex]x^n-1[/tex], con [tex]n \neq q-1[/tex] non ha radici multiple in [tex]K[/tex] se e solo se il [tex]n[/tex] e [tex]p[/tex] sono coprimi (ovvero [tex](n,p)=1[/tex]).
Innanzitutto, mi chiedo se dire "non ha radici multiple" sia corretto oppure sarebbe meglio dire "spezza completamente" (non è la stessa cosa, poiché un polinomio potrebbe anche avere fattori irriducibili di grado maggiore di [tex]1[/tex]).
Ora diamo per buona la prima implicazione e concentriamoci sulla seconda. Vogliamo provare che se [tex]n[/tex] e [tex]p[/tex] sono coprimi, allora [tex]x^n-1[/tex] non ha radici multiple.
Allora sugli appunti c'è scritto che [tex](n,p)=1 \Rightarrow p[/tex] invertibile in [tex]Z_n[/tex] (chiaro fin qui).
Poi si dice che si pone [tex]m[/tex] pari al minimo intero positivo tale per cui [tex]p^m \equiv 1[/tex] modulo [tex]n[/tex] e tale [tex]m[/tex] si chiama "ordine moltiplicativo". Per cui deve essere [tex]p^m = 1 + kn[/tex] per un opportuno [tex]k[/tex] intero (chiaro anche fino a qui). A questo punto non capisco più: magicamente pare che si ponga [tex]p^m = q[/tex] e non riesco a capire proprio perché. Se riuscissi a chiarire questo punto, il prosieguo della dimostrazione sarebbe poi a posto.
Siamo in un campo [tex]K[/tex] avente cardinalità [tex]q[/tex] e caratteristica [tex]p[/tex].
Sugli appunti c'è scritto che si vuole dimostrare che il polinomio [tex]x^n-1[/tex], con [tex]n \neq q-1[/tex] non ha radici multiple in [tex]K[/tex] se e solo se il [tex]n[/tex] e [tex]p[/tex] sono coprimi (ovvero [tex](n,p)=1[/tex]).
Innanzitutto, mi chiedo se dire "non ha radici multiple" sia corretto oppure sarebbe meglio dire "spezza completamente" (non è la stessa cosa, poiché un polinomio potrebbe anche avere fattori irriducibili di grado maggiore di [tex]1[/tex]).
Ora diamo per buona la prima implicazione e concentriamoci sulla seconda. Vogliamo provare che se [tex]n[/tex] e [tex]p[/tex] sono coprimi, allora [tex]x^n-1[/tex] non ha radici multiple.
Allora sugli appunti c'è scritto che [tex](n,p)=1 \Rightarrow p[/tex] invertibile in [tex]Z_n[/tex] (chiaro fin qui).
Poi si dice che si pone [tex]m[/tex] pari al minimo intero positivo tale per cui [tex]p^m \equiv 1[/tex] modulo [tex]n[/tex] e tale [tex]m[/tex] si chiama "ordine moltiplicativo". Per cui deve essere [tex]p^m = 1 + kn[/tex] per un opportuno [tex]k[/tex] intero (chiaro anche fino a qui). A questo punto non capisco più: magicamente pare che si ponga [tex]p^m = q[/tex] e non riesco a capire proprio perché. Se riuscissi a chiarire questo punto, il prosieguo della dimostrazione sarebbe poi a posto.
Risposte
"Kroldar":
Ora diamo per buona la prima implicazione e concentriamoci sulla seconda. Vogliamo provare che se [tex]n[/tex] e [tex]p[/tex] sono coprimi, allora [tex]x^n-1[/tex] non ha radici multiple.
Uhm non so se l'avete fatto (in caso contrario fermami) ma un lemma che si fa parlando di radici multiple dice che un polinomio $f$ ha radici multiple se e solo se $mcd(f, f') != 1$. In tal caso la tesi seguirebbe immediatamente perchè $f'(x) = nx^(n-1)$ ha come unica radice $x = 0$ perchè $(p, n) = 1$ e gli unici fattori sono $x^k$ che chiaramente non compaiono in $x^n +1$, per cui $mcd(f, f') = 1$ e quindi $f$ non ha radici multiple.
No, non lo abbiamo fatto. In realtà il problema non è trovare una dimostrazione alternativa al teorema, ma cercare di capire quella del professore, perché poi sarà quella che verrà chiesta all'esame 
Ciao!
Innanzitutto, mi chiedo se dire "non ha radici multiple" sia corretto oppure sarebbe meglio dire "spezza completamente" (non è la stessa cosa, poiché un polinomio potrebbe anche avere fattori irriducibili di grado maggiore di [tex]1[/tex]).Si dice che un polinomio "(non) ha radici multiple" se (non) ha radici multiple in un'opportuna (nessuna) estensione del campo su cui è definito.
Poi si dice che si pone [tex]m[/tex] pari al minimo intero positivo tale per cui [tex]p^m \equiv 1[/tex] modulo [tex]n[/tex] e tale [tex]m[/tex] si chiama "ordine moltiplicativo". Per cui deve essere [tex]p^m = 1 + kn[/tex] per un opportuno [tex]k[/tex] intero (chiaro anche fino a qui). A questo punto non capisco più: magicamente pare che si ponga [tex]p^m = q[/tex] e non riesco a capire proprio perché.Prendi uno zero [tex]\theta[/tex] di [tex]x^n-1[/tex]. Si ha [tex]\theta^{p^m} = \theta^{1+kn} = \theta[/tex], quindi gli zeri di [tex]x^n-1[/tex] sono tutti contenuti nell'insieme degli zeri di [tex]x^{p^m}-x[/tex], a cui accade di essere proprio il campo di spezzamento di [tex]x^{p^m}-x[/tex]. Qui è il punto: siccome possiamo studiare il polinomio [tex]x^n-1[/tex] nell'estensione che ci fa più comodo (vedi la definizione che ho riportato sopra di cosa vuol dire avere o non avere radici multiple) possiamo metterci nel campo di spezzamento di [tex]x^{p^m}-x[/tex], e si tratta di un campo con [tex]p^m[/tex] elementi. In altre parole possiamo supporre [tex]q=p^m[/tex].
Più o meno, almeno a livello intuitivo, credo di aver capito. Questi argomenti non sono stati approfonditi troppo a livello teorico, poiché il corso era finalizzato ai codici correttori e non all'algebra astratta in sé. In ogni caso, se ho ben inteso, quel fatto di porre [tex]p^m = q[/tex] è semplicemente una scelta arbitraria, dettata dal desiderio di far sì che [tex]x^n-1[/tex] spezzi completamente nel campo [tex]K[/tex] di cardinalità [tex]q[/tex] e i suoi zeri siano un sottoinsieme del polinomio [tex]x^{q-1}-1[/tex] che (per altre vie) sappiamo spezzare completamente in [tex]K[/tex] e le sue radici sono tutti e soli gli elementi non nulli di [tex]K[/tex]. Può andare?
"Kroldar":Quello che dici ha senso ma non è una giustificazione del fatto di porre [tex]q=p^m[/tex].
se ho ben inteso, quel fatto di porre [tex]p^m = q[/tex] è semplicemente una scelta arbitraria, dettata dal desiderio di far sì che [tex]x^n-1[/tex] spezzi completamente nel campo [tex]K[/tex] di cardinalità [tex]q[/tex] e i suoi zeri siano un sottoinsieme del polinomio [tex]x^{q-1}-1[/tex] che (per altre vie) sappiamo spezzare completamente in [tex]K[/tex] e le sue radici sono tutti e soli gli elementi non nulli di [tex]K[/tex]. Può andare?
Prendi il tuo campo [tex]K[/tex] di caratteristica [tex]p[/tex]. Vedila così (qui con [tex]\mathbb{F}_p[/tex] intendo il campo con [tex]p[/tex] elementi):
"[tex]x^n-1 \in K[X][/tex] non ha radici multiple"
se e solo se
"[tex]x^n-1 \in \mathbb{F}_p[X][/tex] non ha radici multiple"
se e solo se
"[tex]x^n-1 \in F[X][/tex] non ha radici multiple",
dove [tex]F[/tex] è un campo di spezzamento di [tex]x^{p^m}-x[/tex]. Quindi se tu dimostri il teorema nel caso [tex]q=p^m[/tex] allora lo deduci nel caso generale.
Quindi [tex]q=p^m[/tex] non è una "scelta arbitraria", è un caso particolare che però implica quello generale.
Ti ringrazio posticipatamente per gli interventi (e magari anche anticipatamente se ne farai altri ).
Non metto in dubbio quello che dici, ma ci sono un po' di "se e solo se" che non saprei giustificare in alcun modo.
L'unica cosa che so è che se [tex]K[/tex] ha cardinalità [tex]q[/tex], allora il polinomio [tex]x^{q-1}-1[/tex] spezza completamente in [tex]K[/tex] (lo abbiamo dimostrato).
Quello che io intendevo con "scelta arbitraria" è questo:
- il parametro [tex]n[/tex] lo devo fissare io, così come il parametro [tex]p[/tex] (per motivi legati alla codifica) e faccio solo in modo che sia [tex](n,p) = 1[/tex]
- mi occorre, per motivi legati alla codifica, che [tex]x^n-1[/tex] spezzi completamente da qualche parte
- allora mi accorgo che, se prendo [tex]q = p^m[/tex], risulta: [tex]x^n + x^{2n} + ... + x^{kn} = x^n * \frac{x^{q-1}-1}{x^n-1}[/tex]
- ma allora, se le cose stanno così, ho mostrato che [tex]x^n-1[/tex] spezza completamente in [tex]K = Z_p^m[/tex]
- quindi, quel "qualche parte" che cercavo può andare bene se lo prendo come [tex]Z_p^m[/tex]
Purtroppo questa, seppure molto limitata, è l'unica sorta di spiegazione che riesco a darmi sulla base delle (poche) nozioni acquisite
).Non metto in dubbio quello che dici, ma ci sono un po' di "se e solo se" che non saprei giustificare in alcun modo.
L'unica cosa che so è che se [tex]K[/tex] ha cardinalità [tex]q[/tex], allora il polinomio [tex]x^{q-1}-1[/tex] spezza completamente in [tex]K[/tex] (lo abbiamo dimostrato).
Quello che io intendevo con "scelta arbitraria" è questo:
- il parametro [tex]n[/tex] lo devo fissare io, così come il parametro [tex]p[/tex] (per motivi legati alla codifica) e faccio solo in modo che sia [tex](n,p) = 1[/tex]
- mi occorre, per motivi legati alla codifica, che [tex]x^n-1[/tex] spezzi completamente da qualche parte
- allora mi accorgo che, se prendo [tex]q = p^m[/tex], risulta: [tex]x^n + x^{2n} + ... + x^{kn} = x^n * \frac{x^{q-1}-1}{x^n-1}[/tex]
- ma allora, se le cose stanno così, ho mostrato che [tex]x^n-1[/tex] spezza completamente in [tex]K = Z_p^m[/tex]
- quindi, quel "qualche parte" che cercavo può andare bene se lo prendo come [tex]Z_p^m[/tex]
Purtroppo questa, seppure molto limitata, è l'unica sorta di spiegazione che riesco a darmi sulla base delle (poche) nozioni acquisite
Esatto. Non avere radici multiple significa non avere radici multiple da qualche parte. Quindi ti metti nel "qualche parte" in cui sai lavorare meglio e lavori lì.
Per esempio se vuoi mostrare che [tex]x^2+1 \in \mathbb{R}[X][/tex] non ha radici multiple cosa fai? Ti metti su [tex]\mathbb{C}[/tex] e osservi che [tex]x^2+1=(x+i)(x-i)[/tex], e [tex]i \neq -i[/tex]. Quindi qui il "qualche parte" che conviene scegliere è [tex]\mathbb{C}[/tex].
Per esempio se vuoi mostrare che [tex]x^2+1 \in \mathbb{R}[X][/tex] non ha radici multiple cosa fai? Ti metti su [tex]\mathbb{C}[/tex] e osservi che [tex]x^2+1=(x+i)(x-i)[/tex], e [tex]i \neq -i[/tex]. Quindi qui il "qualche parte" che conviene scegliere è [tex]\mathbb{C}[/tex].
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