Campo di spezzamento

[GreenLink]

Devo determinare il campo di spezzamento di $x^4-t$ in $CC(t)[x]$.
Se riuscissi a dimostrare che è irriducibile su quel campo allora quozienterei $CC(t)[x]$ con questo fattore irriducibile ottenendo un campo e poi dovrei controllare di avere aggiunto tutte le radici; il problema è che non so proprio come fare!!

[alvinlee881]

Dovrebbe valere in generale la seguente cosa (ma vorrei che qualcuno mi riguardasse la dimostrazione…)

Fatto(?)
Sia [tex]K[/tex] un campo, e [tex]f(X,Y) \in K[X,Y][/tex] un polinomio tale che [tex]c_Y(f) \in K^{\times}[/tex] (invertibili) , dove con [tex]c_Y(f)[/tex] indico l’M.C.D dei coefficienti del polinomio [tex]f[/tex] visto come polinomio in [tex](K[X])[Y][/tex] (che si può fare poichè [tex]K[X][/tex] è un anello euclideo).
Allora [tex]f[/tex] è riducibile in [tex]K[X,Y][/tex] se e solo se lo è in [tex]K(X)[Y][/tex].

Dim.

Ricordiamo innanzitutto che lavoriamo sempre in domini a fattorizzazione “unica”, detti UFD.
$\leftarrow)$ per il lemma di Gauss se [tex]f=gh[/tex] in [tex]K(X)[Y][/tex] (a meno di invertibili) con [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] irriducibili (in particolare non invertibili, e essendo a coefficienti in un campo non invertibili significa non costanti), allora [tex]f=\bar g \bar h[/tex] in [tex](K[X])[Y][/tex], con [tex]\bar g[/tex] e [tex]\bar h[/tex] degli stessi gradi di [tex]g[/tex] e [tex]h[/tex] rispettivamente (quindi [tex]\geq 1[/tex]), e ancora non invertibili perché altrimenti i coefficienti dei termini di grado maggiore di zero (in [tex]Y[/tex]), e ne esiste almeno uno, dovrebbero essere dei nilpotenti in [tex]K[X][/tex] (vedere qui: http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... =64&t=1580 ) assurdo perché tale anello non possiede nilpotenti. Quindi [tex]f[/tex] è riducibile in [tex](K[X])[Y][/tex] e dunque in [tex]K[X,Y][/tex]

$\rightarrow)$ La fattorizzazione [tex]f= f_1\cdot f_2[/tex] in [tex]K[X,Y][/tex] (sempre a meno di invertibili), con [tex]f_1[/tex] e [tex]f_2[/tex] irriducibili in [tex]K[X,Y][/tex] (in particolare non sono costanti) è ovviamente una fattorizzazione anche in [tex]K(X)[Y][/tex], e [tex]f_1[/tex], [tex]f_2[/tex], se non sono invertibili, sono ancora irriducibili, sempre per il lemma di Gauss, e abbiamo finito perché siamo in un UFD e quindi questa è l’unica possibile fattorizzazione. [tex]f_1[/tex] e [tex]f_2[/tex] non sono invertibili perché se uno di essi lo fosse, diciamo [tex]f_1[/tex], dovrebbe allora essere un elemento di [tex]K(X)[Y]^{\times}=K(X)^{\times}[/tex] (poichè [tex]K(X)[/tex] è campo), da cui [tex]c_Y(f_1)=f_1[/tex], e inoltre [tex]f_1 \notin K^{\times}[/tex] perché non può essere una costante, quindi [tex]f_1[/tex] deve essere un polinomio non costante in [tex]K[X][/tex]. Ma allora [tex]c_Y(f)= c_Y(f_1)\cdot c_Y(f_2)= f_1\cdot c_Y(f_2) \notin K^{\times}[/tex], contro l’ipotesi.


Alla luce di ciò, con [tex]f(X,T)=X^4-T[/tex], si ha che [tex]c_X(f)=c_T(f)=1[/tex] (a meno di invertibili), dunque l’irriducibilità in [tex]\mathbb C(T)[X][/tex] è equivalente all’irriducibilità in [tex]\mathbb C(X)[T][/tex] (passando dall’irriducibilità in [tex]\mathbb C[X,T][/tex]), e qui è facile perché [tex]f[/tex] è di primo grado in [tex]T[/tex] e dunque, essendo a coefficienti in un campo, è irriducibile. Quindi fissata una chiusura algebrica di [tex]\mathbb C(T)[/tex] e presovi un [tex]w[/tex] radice di [tex]X^4-T[/tex] , l’estensione [tex]\mathbb C(T)(w)[/tex] ha grado [tex]4[/tex] su [tex]\mathbb C(T)[/tex] (il fatto che il polinomio sia irriducibile serviva essenzialmente solo per scoprire questo grado), e si vede facilmente che il campo di spezzamento è allora [tex]\mathbb C(T)(w)[/tex] (ogni altra radice ci sta).