Campo di spezzamento
ciao devo trovare il campo di spezzamento di $x^8 -1$
allora ho fatto così: $x^8 - 1= (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$ ora mi concentro su $x^2 +1$ perchè sia riducibile devo trovare $\alpha$ tc $(\alpha)^2=-1$ che è $i$ quindi inizio a considerare come campo $QQ(i)$. ora vorrei trovare le radici di $ x^4 + 1$ ma come fare?
io pensavo :provo a vedere se c'è una combinazione lineare del tipo $a+ib $tc$ a,b in QQ$ che sostituita a x in $x^4+1$ mi dia 0 e poi se cè ho finito il campo è $QQ(i)$ altrimenti cosa faccio? io avrei trovato la combinazione con a e b uguali a $1/(sqrt2)$ ma deduco che non va bene perchè questi coefficienti non sono in $QQ$. allora cosa faccio aggiungo solo $1/(sqrt2)$ in $QQ(i)$? grazie mille scusate eventuali errori da somaro.
allora ho fatto così: $x^8 - 1= (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$ ora mi concentro su $x^2 +1$ perchè sia riducibile devo trovare $\alpha$ tc $(\alpha)^2=-1$ che è $i$ quindi inizio a considerare come campo $QQ(i)$. ora vorrei trovare le radici di $ x^4 + 1$ ma come fare?
io pensavo :provo a vedere se c'è una combinazione lineare del tipo $a+ib $tc$ a,b in QQ$ che sostituita a x in $x^4+1$ mi dia 0 e poi se cè ho finito il campo è $QQ(i)$ altrimenti cosa faccio? io avrei trovato la combinazione con a e b uguali a $1/(sqrt2)$ ma deduco che non va bene perchè questi coefficienti non sono in $QQ$. allora cosa faccio aggiungo solo $1/(sqrt2)$ in $QQ(i)$? grazie mille scusate eventuali errori da somaro.
Risposte
Per fattorizzare $x^4+1$ non fai altro che trovare le quattro radici quarte di $-1$ in $CC$. Per trovarle fai come al solito: la radice quarta del modulo, l'argomento diviso quattro.
Siccome $i$ e $sqrt(2)$ ti bastano per raggiungerle a partire da $QQ$, e d'altronde almeno loro ci devono essere, il c.r.c. che cerchi è (come dici giustamente) $QQ(i,sqrt(2))$.
Siccome $i$ e $sqrt(2)$ ti bastano per raggiungerle a partire da $QQ$, e d'altronde almeno loro ci devono essere, il c.r.c. che cerchi è (come dici giustamente) $QQ(i,sqrt(2))$.
qual è il campo di spezzamento del polinomio (x^6+1)(x^3-2)??? (x^6+1) si decompone in (x^2+1)(x^4-x^2+1) ,il cui campo di spezzamento dovrebbe essere Q(i. .√3)
"laura.":[mod="Martino"]Ciao laura, benvenuta nel forum. Per favore apri un altro topic per proporre il tuo problema (per farlo entra nella sezione "Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta" e clicca su "nuovo topic"). E prima di postare consulta questa pagina. Grazie per la comprensione.[/mod]
qual è il campo di spezzamento del polinomio (x^6+1)(x^3-2)??? (x^6+1) si decompone in (x^2+1)(x^4-x^2+1) ,il cui campo di spezzamento dovrebbe essere Q(i. .√3)
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