Campo di spezzamento
sia $f(x)=x^3+3x+2$ un polinomio in $F_5$ il campo a cinque elementi
determinare un campo di spezzamento K di f
determinare tutte le radici di f(x) in K
dire se $x^3+1$ ha tutte le sue radici in K
determinare un campo di spezzamento K di f
determinare tutte le radici di f(x) in K
dire se $x^3+1$ ha tutte le sue radici in K
Risposte
[mod="Martino"]Questo forum non è inteso come risolutore automatico di esercizi per casa.
Per favore proponi i tuoi tentativi di soluzione e le tue idee, grazie.[/mod]
Per favore proponi i tuoi tentativi di soluzione e le tue idee, grazie.[/mod]
mi scusi... è che non ho mai fatto eserizi sui campi di spezzamento in caratteristica p... se vuoi ti dico come si fa su Q ma non penso interessi a molti la cosa... comunque la domanda è: si può trasportare il modo di ragionare per Q su un campo di caratteristica 5... in altri termini, come riduco le radici che aggiungo mod 5?
ad ogni modo è chiaro (nonché evidente) che questo non è un risolutore automatico di esercizi, ma è anche vero che nessuno è obbligato a rispondere, quindi non vedo dov'è il difetto nel mio messaggio.
ad ogni modo è chiaro (nonché evidente) che questo non è un risolutore automatico di esercizi, ma è anche vero che nessuno è obbligato a rispondere, quindi non vedo dov'è il difetto nel mio messaggio.
Volevo solo invitarti a proporre un'idea di soluzione. Anche solo dire quello che hai detto nel tuo secondo messaggio, cioe' focalizzare l'attenzione sulle tue vere difficolta'. Se tu scrivi solo "trovare questo, determinare questo" non si capisce se e' un esercizio che stai proponendo perche' lo trovi interessante, o se e' un esercizio che non riesci a risolvere, e in questo secondo caso se non sai nemmeno da dove cominciare o se hai gia' un'idea. Spesso capita che uno chiede delucidazioni trascrivendo un intero esercizio quando magari aveva solo fatto un errore di calcolo. Insomma, ti chiederei di elaborare un po' il problema, di non limitarti a scrivere l'enunciato.
Il procedimento che farei io e': determinare se il polinomio e' irriducibile in $F_5[X]$, e in tal caso aggiungere una radice $alpha$ e dedurre se possibile le altre da essa, cioe' determinare se il polinomio e' irriducibile anche in $F_5[alpha][X]$ oppure no, e continuare in questo modo. Una volta che hai trovato tutte le radici vedi se puoi scrivere il campo di spezzamento come un'estensione semplice di $F_5$, cosi' da poterci ragionare in modo pratico e rispondere ad altri eventuali domande. Ricorda che non sei su $QQ$ o $RR$ ma sul campo con $5$ elementi e regolati di conseguenza.
Il procedimento che farei io e': determinare se il polinomio e' irriducibile in $F_5[X]$, e in tal caso aggiungere una radice $alpha$ e dedurre se possibile le altre da essa, cioe' determinare se il polinomio e' irriducibile anche in $F_5[alpha][X]$ oppure no, e continuare in questo modo. Una volta che hai trovato tutte le radici vedi se puoi scrivere il campo di spezzamento come un'estensione semplice di $F_5$, cosi' da poterci ragionare in modo pratico e rispondere ad altri eventuali domande. Ricorda che non sei su $QQ$ o $RR$ ma sul campo con $5$ elementi e regolati di conseguenza.
Vero quel che dici Martino, ma $alpha$ in questo modo è comunque la radice nel campo dei complessi...
"Lord K":No. Il campo dei complessi non c'entra, ha caratteristica zero.
Vero quel che dici Martino, ma $alpha$ in questo modo è comunque la radice nel campo dei complessi...
Dato ogni campo $k$ ne esiste uno che contiene una radice $alpha$ di un polinomio irriducibile $f(x)$ di $k[X]$: quello universale con questa proprieta' e' il campo
$L = k[X]//(f(x)) cong k[alpha]$
(questo argomento e' conosciuto come "aggiunzione di radici").
Ovvio che sì ma $alpha$ è un numero complesso in generale...
"Lord K":Ripeto, no. $alpha$ non è un numero complesso. I numeri complessi non c'entrano nulla.
Ovvio che sì ma $alpha$ è un numero complesso in generale...
$alpha$ è la classe di $x$ nell'anello quoziente $k[X]//(f(x))$.
Alle volte si usano i simboli $sqrt(-1)$ per indicare quei quozienti ed a quelli facevo riferimento, ovvero l'aggiunta di radici. La denominazione "numero complesso" comprendo sia dunque fuori luogo, ma il mio intento era un approccio più intuitivo.
"Lord K":Capisco. Secondo me questo approccio intuitivo e' utile per abituarsi ad usare delle cose, ma senza le formalizzazioni corrette si rischia che uno esca da un argomento con le idee tanto chiare quanto sbagliate. Nei miei interventi precedenti volevo sottolineare il fatto che non esistono omomorfismi di campo non nulli $F_5 to CC$, quindi e' difficile pensare alle radici aggiunte come dentro $CC$.
Alle volte si usano i simboli $sqrt(-1)$ per indicare quei quozienti ed a quelli facevo riferimento, ovvero l'aggiunta di radici. La denominazione "numero complesso" comprendo sia dunque fuori luogo, ma il mio intento era un approccio più intuitivo.
[OT]
Il mio intento è quello di aiutare mediante la comprensione intuitiva e solo poi con il formalismo che, a mio avviso, appensantisce troppo i discorsi ed allontana i non appassionati come me e te dal nocciolo della questione. Fai bene in ogni caso a bloccare il mio eccessivo "intuitismo" (passami il termine) e per questo ti ringrazio.
[/OT]
Il mio intento è quello di aiutare mediante la comprensione intuitiva e solo poi con il formalismo che, a mio avviso, appensantisce troppo i discorsi ed allontana i non appassionati come me e te dal nocciolo della questione. Fai bene in ogni caso a bloccare il mio eccessivo "intuitismo" (passami il termine) e per questo ti ringrazio.
[/OT]
forse questo file pdf può essere d'aiuto (primo risultato):
http://www.google.it/search?hl=it&q=con ... erca&meta=
io l'ho appena letto.... forse si può fare così per trovare il campo di spezzamento:
- osserviamo che il polinomio è irriducibile in $F_5$. Se lo fosse avrebbe una radice, ma non ne ha;
- aggiungiamo come suggeriva Martino una radice $\alpha$. Il campo $F_5[\alpha]$ avrà come generatori ${1,\alpha,\alpha^2}$ ed avrà 125 elementi.
- Vediamo se le altre radici ci sono... Con ruffini si trova $x^2+3x+2=(x-\alpha)(x^2+x\alpha+\alpha^2+3)$... le radici del polinomio di secondo grado ci stanno se il discriminante $-3\alpha^2-2$ è un quadrato nell'estensione... (credo funzi così, non so se ci vuole caratteristica diversa da due)... provando a risolvere a mano imponendo la relazione:
$(a+b\alpha+c\alpha^2)^2=-3\alpha^2-2$
se non sbaglio si ottiene soluzione con $a=0,b=-2,c=1$, salvo (probabili) errori di conto... e quindi le altre due radici esistono....
magari si può fare in altro modo, ma visto che nessuno risponde c'ho provato io.... ho cmq chiesto ad un forumista più bravo di me di darci un'occhiata ed ha detto che quando ha tempo ci fa sapere! Intanto magari se ho scritto fesserie ditelo...
http://www.google.it/search?hl=it&q=con ... erca&meta=
io l'ho appena letto.... forse si può fare così per trovare il campo di spezzamento:
- osserviamo che il polinomio è irriducibile in $F_5$. Se lo fosse avrebbe una radice, ma non ne ha;
- aggiungiamo come suggeriva Martino una radice $\alpha$. Il campo $F_5[\alpha]$ avrà come generatori ${1,\alpha,\alpha^2}$ ed avrà 125 elementi.
- Vediamo se le altre radici ci sono... Con ruffini si trova $x^2+3x+2=(x-\alpha)(x^2+x\alpha+\alpha^2+3)$... le radici del polinomio di secondo grado ci stanno se il discriminante $-3\alpha^2-2$ è un quadrato nell'estensione... (credo funzi così, non so se ci vuole caratteristica diversa da due)... provando a risolvere a mano imponendo la relazione:
$(a+b\alpha+c\alpha^2)^2=-3\alpha^2-2$
se non sbaglio si ottiene soluzione con $a=0,b=-2,c=1$, salvo (probabili) errori di conto... e quindi le altre due radici esistono....
magari si può fare in altro modo, ma visto che nessuno risponde c'ho provato io.... ho cmq chiesto ad un forumista più bravo di me di darci un'occhiata ed ha detto che quando ha tempo ci fa sapere! Intanto magari se ho scritto fesserie ditelo...
anyway i calcoli del sistema sono sbagliati.... ora però non li completo (qualcuno ha voglia?) perchè il mio metodo in sostanza si riduce a distinguere i vari casi sperando che ci sia una soluzione....
nel caso non la si trovasse sinceramente proverei ad aggiunguere nuove radici, ma i calcoli diventerebbero ancora più lunghi....
nel caso non la si trovasse sinceramente proverei ad aggiunguere nuove radici, ma i calcoli diventerebbero ancora più lunghi....
Thomas:
anyway i calcoli del sistema sono sbagliati.... ora però non li completo (qualcuno ha voglia?) perchè il mio metodo in sostanza si riduce a distinguere i vari casi sperando che ci sia una soluzione....
nel caso non la si trovasse sinceramente proverei ad aggiunguere nuove radici, ma i calcoli diventerebbero ancora più lunghi....
non vorrei sbagliare, ma se correggi il polinomio che hai scritto male e lo dividi per $x-alpha$ hai esattamente quel quoziente
PS perchè non esce la finestra del quote a me?????
si si.... intendi che ci va un x^3, giusto? no la divisione con ruffini potrebbe essere giusta... quello che è sbagliato è il calcolo dei coefficienti $a,b,c$....
credo che ti manchi una barra sul [\quote]... prova...
credo che ti manchi una barra sul [\quote]... prova...
quelli non li ho verificati XD
cmq... non è questione di barra, si vede che il quote mi ha presa in antipatia
cmq... non è questione di barra, si vede che il quote mi ha presa in antipatia
Thomas:
- Vediamo se le altre radici ci sono... Con ruffini si trova $x^3+3x+2=(x-\alpha)(x^2+x\alpha+\alpha^2+3)$... le radici del polinomio di secondo grado ci stanno se il discriminante $-3\alpha^2-2$ è un quadrato nell'estensione... (credo funzi così, non so se ci vuole caratteristica diversa da due)... provando a risolvere a mano imponendo la relazione:
$(a+b\alpha+c\alpha^2)^2=-3\alpha^2-2$
prima di andare avanti mi sorge un dubbio...
perchè imponi che $-3alpha^2-2$ sia uguale al quadrato di un polinomio di 2 grado???? il quadrato di un polinomio di 2 grado ha 4 grado, a che ti servirebbe????
beh non è proprio un polinomio di secondo grado, nel senso che $\alpha$ è proprio un elemento del campo, non una variabile... quello è il generico elemento dell'estensione, con $a,b,c$ in $F_5$... e $\alpha$ rispetta $\alpha^3=-3\alpha-2$, quindi si "scende di grado" ed è possibile che quell'uguaglianza venga verificata...
la cosa mi servirebbe perchè se quell'elemento si riesce a scrivere come quadrato allora il discriminante del polinomio di secondo grado (quello in $x$)è un quadrato perfetto ed in sostanza si può "estrarre la radice" e portare a buon fine la classica formula di soluzione delle equazioni di secondo grado per trovare (nel campo già costruito) le radici...
cmq non stare ad ascoltarmi troppo, spero che intervenga qualcuno a dire cosa c'è di corretto...
la cosa mi servirebbe perchè se quell'elemento si riesce a scrivere come quadrato allora il discriminante del polinomio di secondo grado (quello in $x$)è un quadrato perfetto ed in sostanza si può "estrarre la radice" e portare a buon fine la classica formula di soluzione delle equazioni di secondo grado per trovare (nel campo già costruito) le radici...
cmq non stare ad ascoltarmi troppo, spero che intervenga qualcuno a dire cosa c'è di corretto...
"Thomas":
beh non è proprio un polinomio di secondo grado, nel senso che $\alpha$ è proprio un elemento del campo, non una variabile... quello è il generico elemento dell'estensione, con $a,b,c$ in $F_5$... e $\alpha$ rispetta $\alpha^3=-3\alpha-2$, quindi si "scende di grado" ed è possibile che quell'uguaglianza venga verificata...
la cosa mi servirebbe perchè se quell'elemento si riesce a scrivere come quadrato allora il discriminante del polinomio di secondo grado (quello in $x$)è un quadrato perfetto ed in sostanza si può "estrarre la radice" e portare a buon fine la classica formula di soluzione delle equazioni di secondo grado per trovare (nel campo già costruito) le radici...
cmq non stare ad ascoltarmi troppo, spero che intervenga qualcuno a dire cosa c'è di corretto...
secondo me il procedimento è giusto, i calcoli non so, e non so neanche se c'è un altro modo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo