Campo di spezzamento
Salve!
Avrei il seguente problema:
Determina il campo di spezzamento del polinomio $f(x) = x^3 + 2x + 1$ in $\mathbb{F}_3[x]$.
Il problema è che ho a che fare con un campo finito, di cui non ho ancora visto un esempio concreto di come si fa a calcolarlo.
Qualcuno sa come aiutarmi? E forse, anche indicarmi un METODO, per poter più o meno risolvere un problema di questo tipo (campi finiti)?
Avrei il seguente problema:
Determina il campo di spezzamento del polinomio $f(x) = x^3 + 2x + 1$ in $\mathbb{F}_3[x]$.
Il problema è che ho a che fare con un campo finito, di cui non ho ancora visto un esempio concreto di come si fa a calcolarlo.
Qualcuno sa come aiutarmi? E forse, anche indicarmi un METODO, per poter più o meno risolvere un problema di questo tipo (campi finiti)?
Risposte
sei sicuro che sia quello il polinomio?
beh allora prima cosa vedi se ha per caso radici su $F_3$ e questo non è il caso... quindi è irriducibile... allora il campo di spezzamento è
$F_{3^3}$ in quanto il polinomio ha grado $3$ ed è irriducibile... in generale dato un polinomio su $F_p$ con p primo si scompone in fattori irriducibili su $F_p$ e il grado del campo di spezzamento è il minimo comune multiplo dei gradi dei fattori irriducibili... e quindi il campo di spezzamento sarà $F_{p^m}$ dove $m$ è appunto il minimo comune multiplo... ciao
$F_{3^3}$ in quanto il polinomio ha grado $3$ ed è irriducibile... in generale dato un polinomio su $F_p$ con p primo si scompone in fattori irriducibili su $F_p$ e il grado del campo di spezzamento è il minimo comune multiplo dei gradi dei fattori irriducibili... e quindi il campo di spezzamento sarà $F_{p^m}$ dove $m$ è appunto il minimo comune multiplo... ciao
Certo, ce l'ho come esercizio da fare.
Forse sono arrivato ad una soluzione.
Allora, si dimostra facilmente che il polinomio è irriducibile. Per cui, chiamiamo $a$ la radice del polinomio su una estensione di $\mathbb{F}_3$, che chiameremo $\mathbb{F}_3(a)$
Allora vale $a^3 + 2a + 1 = 0$ e quindi $a^3 = -2a - 1 = a + 2$
E quindi $[\mathbb{F}_3(a) : \mathbb{F}_3] = 3$, dato che una base è ${1,a,a^2}$, poiché $a^3$ è esprimibile come combinazione degli altri elementi, e quindi anche le potenze successive.
Quindi abbiamo che $\mathbb{F}_3(a) = { b_0 + b_1 a + b_2 a^2 | b_0,b_1,b_2 in \mathbb{F}_3}$.
Dividendo per $(x-a)$ otteniamo:
$f(x) = (x-a)(x^2 + ax + (2+a^2))$
Ora si può notare che $(1+a)$ è zero di $x^2 +ax + (2+a^2)$, e quindi dividendo per $x -(1+a)$:
$f(x) = (x-a)(x-(1+a))(x-(2a+1))$
E quindi f si scompone in fattori lineari in $\mathbb{F}_3(a)$.
Segue che $\mathbb{F}_3(a)$ è il campo di spezzamento di $f$.
Può andare bene un ragionamento del genere?
EDIT:
miuemia: Allora $\mathbb{F}_3(a)$ dovrebbe essere isomorfo a $\mathbb{F}_{27}$... è così?
Forse sono arrivato ad una soluzione.
Allora, si dimostra facilmente che il polinomio è irriducibile. Per cui, chiamiamo $a$ la radice del polinomio su una estensione di $\mathbb{F}_3$, che chiameremo $\mathbb{F}_3(a)$
Allora vale $a^3 + 2a + 1 = 0$ e quindi $a^3 = -2a - 1 = a + 2$
E quindi $[\mathbb{F}_3(a) : \mathbb{F}_3] = 3$, dato che una base è ${1,a,a^2}$, poiché $a^3$ è esprimibile come combinazione degli altri elementi, e quindi anche le potenze successive.
Quindi abbiamo che $\mathbb{F}_3(a) = { b_0 + b_1 a + b_2 a^2 | b_0,b_1,b_2 in \mathbb{F}_3}$.
Dividendo per $(x-a)$ otteniamo:
$f(x) = (x-a)(x^2 + ax + (2+a^2))$
Ora si può notare che $(1+a)$ è zero di $x^2 +ax + (2+a^2)$, e quindi dividendo per $x -(1+a)$:
$f(x) = (x-a)(x-(1+a))(x-(2a+1))$
E quindi f si scompone in fattori lineari in $\mathbb{F}_3(a)$.
Segue che $\mathbb{F}_3(a)$ è il campo di spezzamento di $f$.
Può andare bene un ragionamento del genere?
EDIT:
miuemia: Allora $\mathbb{F}_3(a)$ dovrebbe essere isomorfo a $\mathbb{F}_{27}$... è così?
si esatto.... questo discorso che hai fatto nelc aso particolare vale in generale...
"pat87":
E quindi $[\mathbb{F}_3(a) : \mathbb{F}_3] = 3$, dato che una base è ${1,a,a^2}$, poiché $a^3$ è esprimibile come combinazione degli altri elementi, e quindi anche le potenze successive.
Però il fatto che che $1$, $a$, $a^2$ generino è condizione necessaria ma non sufficiente affinchè questi tre elementi siano una base. Per dimostrare che sono 1 base per esempio si potrebbe dimostrare che sono linearmente indipendenti. Considerando che però la base ha al più 3 elementi e che non può contenere solo 1 poichè $a$ non sta in $F3$ potresti dimostrare che il fatto che la base abbia 2 elementi porti ad un assurdo.
Ma scusa non segue direttamente dal fatto che f è irriducibile?
Cioè, se non ricordo male credo di aver letto un teorema che affermava che, se $f$ è irriducibile, $a$ per cui $f(a)=0$ e $\mathbb{F}_3(a)$ un'estensione algebrica di grado $n$, allora:
${1, a, a^2 ,..., a^(n-1)}$ è una base di $\mathbb{F}_3(a)$
È vero o no?
Cioè, se non ricordo male credo di aver letto un teorema che affermava che, se $f$ è irriducibile, $a$ per cui $f(a)=0$ e $\mathbb{F}_3(a)$ un'estensione algebrica di grado $n$, allora:
${1, a, a^2 ,..., a^(n-1)}$ è una base di $\mathbb{F}_3(a)$
È vero o no?
esatto pat87
"pat87":
Ma scusa non segue direttamente dal fatto che f è irriducibile?
Cioè, se non ricordo male credo di aver letto un teorema che affermava che, se $f$ è irriducibile, $a$ per cui $f(a)=0$ e $\mathbb{F}_3(a)$ un'estensione algebrica di grado $n$, allora:
${1, a, a^2 ,..., a^(n-1)}$ è una base di $\mathbb{F}_3(a)$
È vero o no?
Esatto, e il motivo non è nemmeno molto misterioso: se $1,a,a^2,...,a^{n-1}$ non fossero linearmente indipendenti allora l'annullarsi di una loro combinazione lineare non nulla produrrebbe un polinomio non nullo di grado minore di $n$ con $a$ come zero, assurdo in quanto $f$ (che ha grado $n$) è il polinomio minimo di $a$.
si infatti non ero stato a controllare se il plinomio fosse irriducibile scusate...
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