Campo di spezzamento
Calcolare il campo di spezzamento di $x^4+9$ su $QQ$.
allora io ho fatto così: ho visto che è irriducibile su $QQ$ per il principio di Eisenstein e a questo punto mi sono calcolato le radici che sono :
$\sqrt{3}\phi_1$ , $\sqrt{3}\phi_3$ ,$ \sqrt{3}\phi_5$ , $\sqrt{3}\phi_7$ dove $\phi_i$ sono le radici ottave primitive dell'unità
e quindi ho considerato le seguenti estensioni:
$QQsubeQQ(\sqrt{3})subeQQ(\sqrt{3})(\phi_1)$ dove la prima ha grado $2$ e la seconda anche in quanto il polinomio minimo è $x^2+1$ quindi mi risulta che il campo di spezzamento di $x^4+9$ su $QQ$ è $QQ(\sqrt{3},\phi_1)$
ovviamente mi basta aggiungere una sola radice primitiva perchè così facendo ho tutte le altre.
è corretto???
allora io ho fatto così: ho visto che è irriducibile su $QQ$ per il principio di Eisenstein e a questo punto mi sono calcolato le radici che sono :
$\sqrt{3}\phi_1$ , $\sqrt{3}\phi_3$ ,$ \sqrt{3}\phi_5$ , $\sqrt{3}\phi_7$ dove $\phi_i$ sono le radici ottave primitive dell'unità
e quindi ho considerato le seguenti estensioni:
$QQsubeQQ(\sqrt{3})subeQQ(\sqrt{3})(\phi_1)$ dove la prima ha grado $2$ e la seconda anche in quanto il polinomio minimo è $x^2+1$ quindi mi risulta che il campo di spezzamento di $x^4+9$ su $QQ$ è $QQ(\sqrt{3},\phi_1)$
ovviamente mi basta aggiungere una sola radice primitiva perchè così facendo ho tutte le altre.
è corretto???
Risposte
forse...anzi sicuramente ho scritto una c****ta, in quanto il grado dell'estensione di $QQ(\sqrt{3},\phi_1)$ su $QQ(\sqrt{3})$ non è $2$ ma $4$ in quanto $\sqrt{2}!inQQ(\sqrt{3})$...quindi il grado di $QQ(\sqrt{3},\phi_1)$ su $QQ$ è $8$.
spero qualcuno possa darmi una mano in merito...
spero qualcuno possa darmi una mano in merito...
"miuemia":
la seconda anche in quanto il polinomio minimo è $x^2+1$
No: il polinomio minimo è $x^4+1$, quindi il grado della seconda è 4, e il grado complessivo 8.
La puoi vedere anche cosi': il campo di spezzamento è $QQ[sqrt(3),sqrt(2);isqrt(2)]$, quindi:
$QQ subseteq QQ[sqrt(3)] subseteq QQ[sqrt(3),sqrt(2)] subseteq QQ[sqrt(3),sqrt(2);isqrt(2)]$
Alla seconda inclusione sali di grado perché 2 e 3 sono primi distinti, alla terza sali di grado perché $isqrt(2)$ non appartiene a $RR$.
si martino mi sono corretto infatti... quindi il grado è $8$?
beh allora non mi torna un esercizio che dice di verificare che $x^4-5x^2-6$ e $x^4+9$ hanno lo stesso campo dispezzamento su $QQ$... ma questo non è possibile visto che il campo di spezzamento del primo su $QQ$ ha grado $4$ mentre il secondo ha grado $8$.
giusto???
beh allora non mi torna un esercizio che dice di verificare che $x^4-5x^2-6$ e $x^4+9$ hanno lo stesso campo dispezzamento su $QQ$... ma questo non è possibile visto che il campo di spezzamento del primo su $QQ$ ha grado $4$ mentre il secondo ha grado $8$.
giusto???
Mh non so dovrei fare due conti
ti posto i miei allora $x^4-5x^2-6=(x^2-6)(x^2+1)$ allora ho considerato le due estensioni di $QQ$ cioè:
$QQsubeQQ(\sqrt{6})$ e $QQsubeQQ(i)$ hanno entrambi grado $2$ quindi $QQ(\sqrt{6},i)$ ha grado $4$ su $QQ$ in quanto $i\sqrt{6} !inQQ$...
torna?
$QQsubeQQ(\sqrt{6})$ e $QQsubeQQ(i)$ hanno entrambi grado $2$ quindi $QQ(\sqrt{6},i)$ ha grado $4$ su $QQ$ in quanto $i\sqrt{6} !inQQ$...
torna?
Edito: Attenzione mi sono sbagliato (ancora!):
il campo di spezzamento di $x^4+9$ su $QQ$ non è $QQ[sqrt(2),sqrt(3),isqrt(2)]$ ma $QQ[sqrt(2)(1+i),sqrt(3)]$. Ma non fidarti. Purtroppo adesso non ho molto tempo, stasera ti scrivo (se necessario) qualcosa di piu' sensato
Ciao.
il campo di spezzamento di $x^4+9$ su $QQ$ non è $QQ[sqrt(2),sqrt(3),isqrt(2)]$ ma $QQ[sqrt(2)(1+i),sqrt(3)]$. Ma non fidarti. Purtroppo adesso non ho molto tempo, stasera ti scrivo (se necessario) qualcosa di piu' sensato
Ciao.
Ovviamente mi sono sbagliato di nuovo
Forse era da un po' che non facevo questo tipo di calcoli...
Comunque ora mi sento di essere abbastanza sicuro di questo: il campo di spezzamento di $x^4+9$ su $QQ$ è il più piccolo sovracampo di $QQ$ contenente le quattro radici (complesse) di $x^4+9$, che sono $nu_k=sqrt{3} \cdot theta^k$ per k=1,3,5,7, e per $theta=1/(sqrt(2))+i/(sqrt(2))$. Siano dunque $L=QQ(nu_1,nu_2,nu_3,nu_4)$ e $K=QQ(i,sqrt{6})$. Vogliamo mostrare che $L=K$.
$K subseteq L$: basta mostrare che $i$ e $sqrt{6}$ appartengono a $L$. Ora, $i=theta^2=(nu_3)/(nu_1) \in L$, e $2nu_1=sqrt(6)(1+i)$, da cui $sqrt(6) = (2nu_1)/(1+i) in L$.
$L subseteq K$: basta mostrare che i $nu_k$ appartengono a $K$. Ora,
$nu_1=sqrt(3)(1/(sqrt(2))+i/(sqrt(2)))=1/2 sqrt(6)(1+i) in K$
$nu_3=sqrt(3)(-1/(sqrt(2))+i/(sqrt(2)))=1/2 sqrt(6)(-1+i) in K$
$nu_5=sqrt(3)(-1/(sqrt(2))-i/(sqrt(2)))=1/2 sqrt(6)(-1-i) in K$
$nu_7=sqrt(3)(1/(sqrt(2))-i/(sqrt(2)))=1/2 sqrt(6)(1-i) in K$
Corollario: L ha grado 4 su $QQ$ (non 8).
Forse era da un po' che non facevo questo tipo di calcoli...
Comunque ora mi sento di essere abbastanza sicuro di questo: il campo di spezzamento di $x^4+9$ su $QQ$ è il più piccolo sovracampo di $QQ$ contenente le quattro radici (complesse) di $x^4+9$, che sono $nu_k=sqrt{3} \cdot theta^k$ per k=1,3,5,7, e per $theta=1/(sqrt(2))+i/(sqrt(2))$. Siano dunque $L=QQ(nu_1,nu_2,nu_3,nu_4)$ e $K=QQ(i,sqrt{6})$. Vogliamo mostrare che $L=K$.
$K subseteq L$: basta mostrare che $i$ e $sqrt{6}$ appartengono a $L$. Ora, $i=theta^2=(nu_3)/(nu_1) \in L$, e $2nu_1=sqrt(6)(1+i)$, da cui $sqrt(6) = (2nu_1)/(1+i) in L$.
$L subseteq K$: basta mostrare che i $nu_k$ appartengono a $K$. Ora,
$nu_1=sqrt(3)(1/(sqrt(2))+i/(sqrt(2)))=1/2 sqrt(6)(1+i) in K$
$nu_3=sqrt(3)(-1/(sqrt(2))+i/(sqrt(2)))=1/2 sqrt(6)(-1+i) in K$
$nu_5=sqrt(3)(-1/(sqrt(2))-i/(sqrt(2)))=1/2 sqrt(6)(-1-i) in K$
$nu_7=sqrt(3)(1/(sqrt(2))-i/(sqrt(2)))=1/2 sqrt(6)(1-i) in K$
Corollario: L ha grado 4 su $QQ$ (non 8).
In particolare:
$(nu_1^2)/3=i$, $2nu_1/(1+(nu_1^2)/3)=sqrt(6)$.
Quindi $L=QQ(nu_1)$. Ora è evidente che L ha grado 4 su Q perché il polinomio minimo di $nu_1$ è proprio $x^4+9$.
$(nu_1^2)/3=i$, $2nu_1/(1+(nu_1^2)/3)=sqrt(6)$.
Quindi $L=QQ(nu_1)$. Ora è evidente che L ha grado 4 su Q perché il polinomio minimo di $nu_1$ è proprio $x^4+9$.
si si ok martino grazie capito... e il polinomio minimo di $QQ(v_1)$ su $QQ(\sqrt{3})$ qual è????
"miuemia":
si si ok martino grazie capito... e il polinomio minimo di $QQ(v_1)$ su $QQ(\sqrt{3})$ qual è????
$QQ(sqrt{3})$ non è contenuto in $QQ(nu_1)$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo