Campo di spezzamento.
Sia $f(x) =x^3-x-1$ $in$ $Q(x)$, ho verificato che $f$ è irriducibile, pertanto si può costruire il campo $Q(alpha)$ con $alpha^3 =alpha+1$, l'unica soluzione contenuta in $Q(alpha)$ è solamente $x=alpha$?Perché?
Per ottenere il campo di spezzamento devo ampliare il campo $Q(alpha)$ ulteriormente con qualche altro elemento? Che forma deve avere questo elemento?
Per ottenere il campo di spezzamento devo ampliare il campo $Q(alpha)$ ulteriormente con qualche altro elemento? Che forma deve avere questo elemento?
Risposte
Dire che l'unica soluzione contenuta in $QQ(alpha)$ è $alpha$ è equivalente a dire che $f(x)$ ha gruppo di Galois $S_3$ su $QQ$ (perché altrimenti $QQ(alpha)$ sarebbe campo di spezzamento per $f(x)$ e quindi il gruppo di Galois avrebbe ordine $|G|=|QQ(alpha):QQ|=3$).
Il gruppo di Galois di una cubica irriducibile si calcola in modo standard attraverso il discriminante, che in questo caso è $-23$, non un quadrato in $QQ$.
In generale il gruppo di Galois di una cubica irriducibile $x^3+px+q$ è $S_3$ se $Delta = -4p^3-27q^2$ non è un quadrato nel campo base, è $A_3$ se $Delta$ è un quadrato.
Quindi per esempio $f(x)=x^3-x-1$ considerato in $ZZ//2ZZ[X]$ (e qui irriducibile) ha gruppo di Galois $A_3$ perché il suo discriminante è $-23=1$ e quindi è un quadrato. [NO: vedi sotto]
Il gruppo di Galois di una cubica irriducibile si calcola in modo standard attraverso il discriminante, che in questo caso è $-23$, non un quadrato in $QQ$.
In generale il gruppo di Galois di una cubica irriducibile $x^3+px+q$ è $S_3$ se $Delta = -4p^3-27q^2$ non è un quadrato nel campo base, è $A_3$ se $Delta$ è un quadrato.
Quindi per esempio $f(x)=x^3-x-1$ considerato in $ZZ//2ZZ[X]$ (e qui irriducibile) ha gruppo di Galois $A_3$ perché il suo discriminante è $-23=1$ e quindi è un quadrato. [NO: vedi sotto]
Martino:
$ZZ//2ZZ$ non e' un'esempio felice, perche' in caratteristica $2$
il solito discriminante non ha le solite proprieta'...
Meglio $ZZ//3ZZ$. Con lo stesso polinomio
Per campi di caratteristica $2$ c'e' il discriminante di Berlekamp:
https://www.sciencedirect.com/science/a ... 9376902222
$ZZ//2ZZ$ non e' un'esempio felice, perche' in caratteristica $2$
il solito discriminante non ha le solite proprieta'...
Meglio $ZZ//3ZZ$. Con lo stesso polinomio
Per campi di caratteristica $2$ c'e' il discriminante di Berlekamp:
https://www.sciencedirect.com/science/a ... 9376902222
Giusto, grazie Stickelberger!
"francicko":
Sia $f(x) =x^3-x-1$ $in$ $Q(x)$, ho verificato che $f$ è irriducibile, pertanto si può costruire il campo $Q(alpha)$ con $alpha^3 =alpha+1$, l'unica soluzione contenuta in $Q(alpha)$ è solamente $x=alpha$?Perché?
Per ottenere il campo di spezzamento devo ampliare il campo $Q(alpha)$ ulteriormente con qualche altro elemento? Che forma deve avere questo elemento?
Continui a fare la stessa domanda, e la riposta continua ad essere la stessa. Se posso permettermi, mi sembra che tu abbia qualche difficoltà con l'algebra di base, diciamo quella di un primo anno di matematica all'università. Se io fossi in te, mi concentrerei prima sull'imparare in modo molto solido le nozioni algebriche di base su gruppi, anelli, campi eccetra, e solo in un secondo tempo mi dedicherei alla teoria di Galois, che per quanto elementare sia ha comunque bisogno di basi solide.
x@hydro. Penso che tu abbia ragione,e accolgo con piacere il tuo suggerimento, debbo guardare le nozioni basilari su anelli e campi.
Detto questo,$Q(alpha)$ risulta ovviamente un estensione di grado $3$, Tralasciando la teoria di Galois, in un testo ho trovato che $Q(alpha)$ non contiene alcun elemento che al quadrato risulti uguale ad $-3x^2 +4$, senza che però lo dimostri;
A questo punto pone $(beta)^2$ $=-3(alpha) ^2 +4$,cosyruisce
Detto questo,$Q(alpha)$ risulta ovviamente un estensione di grado $3$, Tralasciando la teoria di Galois, in un testo ho trovato che $Q(alpha)$ non contiene alcun elemento che al quadrato risulti uguale ad $-3x^2 +4$, senza che però lo dimostri;
A questo punto pone $(beta)^2$ $=-3(alpha) ^2 +4$,cosyruisce
x@hydro. Penso che tu abbia ragione,e accolgo con piacere il tuo suggerimento, debbo guardare le nozioni basilari su anelli e campi.
Detto questo,$Q(alpha)$ risulta ovviamente un estensione di grado $3$, Tralasciando la teoria di Galois, in un testo ho trovato che $Q(alpha)$ non contiene alcun elemento che al quadrato risulti uguale ad $-3(alpha) ^2 +4$, senza che però lo dimostri;
A questo punto pone $(beta)^2$ $=-3(alpha) ^2 +4$,costruisce l'estensione $Q(alpha, beta)$ e utilizzando la formula dei gradi mostra che ha grado $6$, la base di questa estensione risulterà $1,alpha,(alpha)^2, beta, alpha(beta), (alpha) ^2 beta$, quindi le soluzioni staranno in questa estensione, e $Q(alpha, beta)$ risulterà essere campo di spezzamento?
Detto questo,$Q(alpha)$ risulta ovviamente un estensione di grado $3$, Tralasciando la teoria di Galois, in un testo ho trovato che $Q(alpha)$ non contiene alcun elemento che al quadrato risulti uguale ad $-3(alpha) ^2 +4$, senza che però lo dimostri;
A questo punto pone $(beta)^2$ $=-3(alpha) ^2 +4$,costruisce l'estensione $Q(alpha, beta)$ e utilizzando la formula dei gradi mostra che ha grado $6$, la base di questa estensione risulterà $1,alpha,(alpha)^2, beta, alpha(beta), (alpha) ^2 beta$, quindi le soluzioni staranno in questa estensione, e $Q(alpha, beta)$ risulterà essere campo di spezzamento?
Vedere che $\mathbb Q(\alpha)$ contiene solo una radice di $f$ è facile, visto che quel polinomio ha 2 radici complesse e solo una reale. Se $\alpha$ è una radice, con una semplice divisione polinomiale si ottiene che $f=(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha^2-1)$ in $\mathbb Q(\alpha)$. Siccome questo ha solo una radice, il discriminante del suo fattore quadratico, che è $-3\alpha^2+4$ non è un quadrato in $\mathbb Q(\alpha)$. D'altronde deve esserlo nel campo di spezzamento, sicchè se $\beta$ è una radice quadrata di $-3\alpha^2+4$, allora $\beta$ sta nel campo di spezzamento. Siccome questo è per definizione il più piccolo campo che contiene le radici di $f$, allora deve coincidere con $\mathbb Q(\alpha,\beta)$. Che ha grado 6 su $\mathbb Q$ dal momento che $[\mathbb Q(\alpha):\mathbb Q]=3$ e $[\mathbb Q(\alpha,\beta):\mathbb Q(\beta)]=2$ per quanto detto sopra.
Ora, tutti questi passaggi sono cose assolutamente standard di teoria dei campi. Se ti senti incerto anche solo su uno di essi, è abbastanza inutile affrontare la teoria di Galois. Molto meglio prendere un testo qualsiasi che si usa per i corsi di algebra 1 e 2 e fare tutti gli esercizi, finchè non diventa tutto chiaro.
Ora, tutti questi passaggi sono cose assolutamente standard di teoria dei campi. Se ti senti incerto anche solo su uno di essi, è abbastanza inutile affrontare la teoria di Galois. Molto meglio prendere un testo qualsiasi che si usa per i corsi di algebra 1 e 2 e fare tutti gli esercizi, finchè non diventa tutto chiaro.
Sempre grato per i suggerimenti, cercherò di colmare le lacune!
Se ho capito bene in questo caso la conclusione è semplice in quanto dall'analisi si deduce che il polinomio ha una radice reale $alpha$ e due complesse, nessuna delle due complesse può appartenere ovviamente a $Q(alpha)$, questo implica che il discriminante del fattore quadratico $-3alpha+4$ non può essere un quadrato in $Q(alpha)$, Giusto?
Nel caso sopra il polinomio di terzo grado possedeva una radice reale, nel caso di questo polinomio:
$x^3 - 3x+1$ sempre irriducibile in $Q$ le tre radici appartengono al campo dei numeri reali, ed usando il principio d'identità dei polinomi si ottiene la scomposizione $(x-alpha) (x^2 +alpha x+alpha ^2 - 3)$, il discriminante del suo fattore quadratico è $12-3alpha^2$, in questo caso sapendo che tutte le radici stanno in $Q(alpha) $ dovrei poter mostrare che il discriminante è un quadrato in $Q(alpha) $, come posso fare?
Se ho capito bene in questo caso la conclusione è semplice in quanto dall'analisi si deduce che il polinomio ha una radice reale $alpha$ e due complesse, nessuna delle due complesse può appartenere ovviamente a $Q(alpha)$, questo implica che il discriminante del fattore quadratico $-3alpha+4$ non può essere un quadrato in $Q(alpha)$, Giusto?
Nel caso sopra il polinomio di terzo grado possedeva una radice reale, nel caso di questo polinomio:
$x^3 - 3x+1$ sempre irriducibile in $Q$ le tre radici appartengono al campo dei numeri reali, ed usando il principio d'identità dei polinomi si ottiene la scomposizione $(x-alpha) (x^2 +alpha x+alpha ^2 - 3)$, il discriminante del suo fattore quadratico è $12-3alpha^2$, in questo caso sapendo che tutte le radici stanno in $Q(alpha) $ dovrei poter mostrare che il discriminante è un quadrato in $Q(alpha) $, come posso fare?
Se $12-3\alpha^2$ è un quadrato, allora esistono $u,v,w\in \mathbb Q$ tali che $(u\alpha^2+v\alpha+w)^2=12-3\alpha^2$. Imposta il sistema, fai un po' di conti e risolvi per $u,v,w$.
Ho sviluppato il quadrato a primo membro, ottenendo l'identità :
$(ualpha^2 +valpha) ^2 +omega^2 +2omega(ualpha^2 +valpha) =12-3alpha^2 $ ed infine
$u^2 alpha^4 +v^2 alpha^2 +2uvalpha^3 +omega^2 +2 omegaalpha^2 +2omegavalpha=12-3alpha^2 $
$(ualpha^2 +valpha) ^2 +omega^2 +2omega(ualpha^2 +valpha) =12-3alpha^2 $ ed infine
$u^2 alpha^4 +v^2 alpha^2 +2uvalpha^3 +omega^2 +2 omegaalpha^2 +2omegavalpha=12-3alpha^2 $
Questo è il motivo per cui ti dico che studiare l'algebra di base è fondamentale per capire la teoria di Galois. Perchè quando hai saldi in mente i concetti di ideale, quoziente e campo, ti accorgi immediatamente che $\alpha^3=3\alpha-1$.
Grazie per la risposta!
In effetti avevo effettuato la sostituzione da te indicata, e sfruttando sempre il principio di identità tra polinomi, avevo ottenuto un sistema di tre equaxioni:
$3u+v^2 +2uomega=-3$
$6uv-u+2vomega=0$
$-2uv+omega^2 =12$
Visto la complessità l'ho dato in pasto a Wolfram, che effettivamente forniva valori appartenenti al campo dei numeri reali, confermando così l'esistenza di un tale elemento.
Mi chiedevo se era possibile evitare una procedura di calcolo così macchinosa, cioè se esiste una procedura che mi permetta di stabilire che tale sistema abbia solo soluzioni reali, senza necessariamente ricorrere al calcolo.
$3u+v^2 +2uomega=-3$
$6uv-u+2vomega=0$
$-2uv+omega^2 =12$
Visto la complessità l'ho dato in pasto a Wolfram, che effettivamente forniva valori appartenenti al campo dei numeri reali, confermando così l'esistenza di un tale elemento.
Mi chiedevo se era possibile evitare una procedura di calcolo così macchinosa, cioè se esiste una procedura che mi permetta di stabilire che tale sistema abbia solo soluzioni reali, senza necessariamente ricorrere al calcolo.
Non c'è bisogno di usare Wolfram. Moltiplica la prima equazione per $4$ e sommala alla terza, otterrai un'equazione omogenea di grado 2 in 3 variabili. Dividi tutto per $w^2$ e chiama $u'=u/w$ e $v'=v/w$; otterrai un'equazione in 2 variabili di grado 2. Fai lo stesso con la seconda, sostituisci e troverai un'equazione di grado 4 in una variabile $u'$. Questa deve avere una radice razionale, quindi fai un numero finito di tentativi e la trovi, poi risostituisci. Fine.
Prendendo come esempio un polinomio come quello già considerato in precedenza $x^3 - x-1$ detto $beta^2 =-3alpha^2 +4$, un elemento generico del campo di spezzamento ha la forma unica:
$a=a_0+a_1alpha+a_2alpha^2 +b_0beta+b_1alphabeta+b_2alpha^2 beta$ giusto?
Mi chiedo essendo il gruppo di Galois isomorfo ad $S_3$ come sono fatti i relativi intercampi corrispondenti ai sottogruppi?
In particolare come. è fatto il sottocampo corrispondente
al sottogruppo $A_3$, cioè $Q(alpha, beta) ^(A_3)$?
$a=a_0+a_1alpha+a_2alpha^2 +b_0beta+b_1alphabeta+b_2alpha^2 beta$ giusto?
Mi chiedo essendo il gruppo di Galois isomorfo ad $S_3$ come sono fatti i relativi intercampi corrispondenti ai sottogruppi?
In particolare come. è fatto il sottocampo corrispondente
al sottogruppo $A_3$, cioè $Q(alpha, beta) ^(A_3)$?
Mi sembrava di aver già risposto in qualche altro thread, ma comunque. Chiama $\alpha,\alpha_2,\alpha_3$ le radici di $x^3-x-1$. Dividi $x^3-x-1$ per $x-\alpha$ e ti trovi un altro fattore quadratico di cui sai scrivere le radici in funzione di $\alpha,\beta$. Quelle due radici sono $\alpha_2,\alpha_3$. Così hai ottenuto una scrittura delle 3 radici nella tua base. Ora $S_3$ ha 3 sottogruppi di ordine 2, quelli generati dai 3 scambi, ed uno di ordine 3 che è $A_3$. Questi corrispondono a 3 sottoestensioni cubiche ed una quadratica. Quella quadratica, come ti ho già detto, è $\mathbb Q(\sqrt{\delta})$, dove $\delta$ è il discriminante del polinomio. Se ti vuoi scrivere $\sqrt{\delta}$ nella tua base, è presto fatto: per definizione $\sqrt{\delta}=(\alpha-\alpha_2)(\alpha-\alpha_3)(\alpha_2-\alpha_3)$. Le tre sottoestensioni cubiche sono $\mathbb Q(\alpha),\mathbb Q(\alpha_2),\mathbb Q(\alpha_3)$. Il campo di spezzamento di $x^3-x-1$ è generato da $\beta$, perchè $\beta$ non è quadratico su $\mathbb Q$ e non sta in nessuno dei tre sottocampi cubici, altrimenti il polinomio sarebbe di Galois su $\mathbb Q$. Se ti vuoi scrivere il polinomio minimo di $\beta$, scrivi $x=\beta$ da cui $-1/3(x^2-4)=\alpha^2$. Adesso ti trovi il polinomio minimo di $\alpha^2$, che ha grado 3, e ci sostituisci dentro $1/3(x^2-4)$, così trovi un polinomio di grado 6 che si annulla in $\beta$, che quindi dev'essere un multiplo del polinomio minimo di $\beta$.
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