Campo di spezzamento
si consideri il polinomio f=$x^8$-16 $in$ $QQ$
a) calcolare le radici primitive ottave dell'unità e determinare il corrispondente polinomio ciclotomico
b)descrivere il campo di spezzamento E di f su $QQ$ e determinare grado e base
c)esprimere tutte le radici di f come combinazione lineare rispetto alla base di E
a) $x^8$-1=0
$\psi$(8)=4 quindi il polinomio ciclotomico avrà grado 4
($x^8-1)=(x+1)(x-1)($x^2$+1$)($x^4+1$)
le radici primitive sono $+-1$, $+-i$, $+-sqrt(i)$, $+-sqrt(-i)$
su wikipedia me le da diverse le ultime 4, ma non so come calcolarle.
b)f lo posso scrivere come $x^2$-2
quindi E=Q($sqrt(2)$,i) ma come lo dimostro?
una base è 1, $sqrt(2)$,i,$sqrt(2i)$
a) calcolare le radici primitive ottave dell'unità e determinare il corrispondente polinomio ciclotomico
b)descrivere il campo di spezzamento E di f su $QQ$ e determinare grado e base
c)esprimere tutte le radici di f come combinazione lineare rispetto alla base di E
a) $x^8$-1=0
$\psi$(8)=4 quindi il polinomio ciclotomico avrà grado 4
($x^8-1)=(x+1)(x-1)($x^2$+1$)($x^4+1$)
le radici primitive sono $+-1$, $+-i$, $+-sqrt(i)$, $+-sqrt(-i)$
su wikipedia me le da diverse le ultime 4, ma non so come calcolarle.
b)f lo posso scrivere come $x^2$-2
quindi E=Q($sqrt(2)$,i) ma come lo dimostro?
una base è 1, $sqrt(2)$,i,$sqrt(2i)$
Risposte
a) Non so chi sia \(\displaystyle\psi\), e comunque se non sai calcolare le radici di un numero complesso non è un problema: l'esercizio è corretto! Forse quello non è proprio il polinomio ciclotomico...
b) Ma che scrivi? Se \(\displaystyle f\) è un polinomio di grado \(\displaystyle 8\) come puoi pensarlo come un polinomio di grado \(\displaystyle 2\)?
b) Ma che scrivi? Se \(\displaystyle f\) è un polinomio di grado \(\displaystyle 8\) come puoi pensarlo come un polinomio di grado \(\displaystyle 2\)?
$psi$ è la funzione di eulero per vedere il grado del polinomio ciclotomico, sono certa ala 100% che sia quello.
quindi come lo faresti tu?
quindi come lo faresti tu?
Per la seconda volta ti rispondo in un momento non adatto per me.
Se il polinomio ciclotomico deve avere grado \(\displaystyle 4\) perché mi scrivi un polinomio di grado \(\displaystyle 8\)?
Se il polinomio ciclotomico deve avere grado \(\displaystyle 4\) perché mi scrivi un polinomio di grado \(\displaystyle 8\)?
il punto a) l'ho capito il polinomio cicltomico è $x^4$+1 e le radici le ho calcolate
il punto b) dalla teoria so ke un campo di spezzamento di un polinomio di tipo $x^n$-a è $QQ$($root(n)(a)$,$\xi$)
dove $\xi$ è radice primitiva
siccome $root(8)(16)$ è $sqrt (2)$ e una radice primitiva è i il campo di spezzamento lo posso scrivere in questo modo $QQ$($sqrt(2)$, $\xi$ )?
il punto b) dalla teoria so ke un campo di spezzamento di un polinomio di tipo $x^n$-a è $QQ$($root(n)(a)$,$\xi$)
dove $\xi$ è radice primitiva
siccome $root(8)(16)$ è $sqrt (2)$ e una radice primitiva è i il campo di spezzamento lo posso scrivere in questo modo $QQ$($sqrt(2)$, $\xi$ )?
Se il punto (b) lo dici così allora è OK... tra l'altro non ricordo la teoria: devo riguardarmela!
quanto vale il grado? non sono sicura ma credo 8, perchè il polinomio minimo di $sqrt(2)$ è $x^2$-2 mentre il polinomio ciclotomico ha grado 4 quindi 8.
la base a qst punto è (1,$sqrt(2)$, $sqrt(2)$$xi$,$xi$)?
la base a qst punto è (1,$sqrt(2)$, $sqrt(2)$$xi$,$xi$)?
a) Ricominciamo; devi scomporre il polinomio \(\displaystyle x^8-1\), quindi:
\[
x^8-1=(x^4)^2-1=(x^4+1)(x^4-1)=(x^4+1)((x^2)^2-1)=(x^4+1)(x^2+1)(x^2-1)=\\
=(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)
\]
o se preferisci:
\[
x^2+1=x^2-(i)^2=(x-i)(x+i)\\
x^4+1=(x^2)^2-(i)^2=(x^2+i)(x^2-i)
\]
quindi devi cercare un numero complesso \(\displaystyle a+ib\) tale che:
\[
i=(a+ib)^2=a^2+2iab-b^2\iff\begin{cases}
a^2-b^2=0\\
2ab=1
\end{cases}\\
\vdots\\
\begin{cases}
a=\pm b\\
ab=\frac{1}{2}
\end{cases}\Rightarrow a=b=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
con un ragionamento analogo trovi che:
\[
-i=\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^2
\]
per cui, in fin dei conti (letteralmente):
\[
x^8-1=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)\cdot\\
\cdot\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right)\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)
\]
e il campo di spezzamento di \(\displaystyle x^8-1\) su \(\displaystyle\mathbb{Q}\) è \(\displaystyle\mathbb{Q}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right)\) (come da teoria):[list=I]
[*:2wivge6q]capisci il perché?[/*:m:2wivge6q]
[*:2wivge6q]chi sono le \(\displaystyle4\) radici primitive ottave \(\displaystyle\omega\) di \(\displaystyle1\)?[/*:m:2wivge6q]
[*:2wivge6q]chi è il polinomio ciclotomico e perché?[/*:m:2wivge6q][/list:o:2wivge6q]
Nota: In questi casi si parla della funzione phi (leggi "fi") \(\displaystyle\varphi\) di Eulero, e non psi \(\displaystyle\psi\)!
\[
x^8-1=(x^4)^2-1=(x^4+1)(x^4-1)=(x^4+1)((x^2)^2-1)=(x^4+1)(x^2+1)(x^2-1)=\\
=(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)
\]
o se preferisci:
\[
x^2+1=x^2-(i)^2=(x-i)(x+i)\\
x^4+1=(x^2)^2-(i)^2=(x^2+i)(x^2-i)
\]
quindi devi cercare un numero complesso \(\displaystyle a+ib\) tale che:
\[
i=(a+ib)^2=a^2+2iab-b^2\iff\begin{cases}
a^2-b^2=0\\
2ab=1
\end{cases}\\
\vdots\\
\begin{cases}
a=\pm b\\
ab=\frac{1}{2}
\end{cases}\Rightarrow a=b=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
con un ragionamento analogo trovi che:
\[
-i=\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)^2
\]
per cui, in fin dei conti (letteralmente):
\[
x^8-1=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)\cdot\\
\cdot\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right)\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\right)
\]
e il campo di spezzamento di \(\displaystyle x^8-1\) su \(\displaystyle\mathbb{Q}\) è \(\displaystyle\mathbb{Q}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right)\) (come da teoria):[list=I]
[*:2wivge6q]capisci il perché?[/*:m:2wivge6q]
[*:2wivge6q]chi sono le \(\displaystyle4\) radici primitive ottave \(\displaystyle\omega\) di \(\displaystyle1\)?[/*:m:2wivge6q]
[*:2wivge6q]chi è il polinomio ciclotomico e perché?[/*:m:2wivge6q][/list:o:2wivge6q]
Nota: In questi casi si parla della funzione phi (leggi "fi") \(\displaystyle\varphi\) di Eulero, e non psi \(\displaystyle\psi\)!
fin qui ci ero arrivata, questo non è altro ke il punto a)
a me serve capire ora quanto vale il grado e la base del campo di spezzamento
a me serve capire ora quanto vale il grado e la base del campo di spezzamento
Basta ripetere esattamente lo stesso calcolo per \(\displaystyle x^8-16\)!
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