Campo delle frazioni non è mai chiuso?
\( \mathbb{C}(x) \) il campo delle frazioni del anello dei polinomi \( \mathbb{C}[x] \) è algebricamente chiuso? Vero o falso?
Io direi falso.
Se \( \mathbb{C}(x) \) è algebricamente chiuso allora per ogni polinomio (edit: evidentemente non costante :edit) \( p(t) \in \mathbb{C}(x)[t] \) esiste \( \alpha \in \mathbb{C}(x) \) tale che \( p(\alpha)=0\).
Consideriamo \(t^2- x \in \mathbb{C}(x)[t] \), supponiamo che esiste \( \alpha = p(x)/q(x) \) con \( p(x) \in \mathbb{C}[x] \) e \( q(x) \in \mathbb{C}[x]^* \) tale che \( \alpha^2 - x = 0 \) ma allora \( p^2(x)=xq^2(x) \) ma il grado di \(p \) è pari mentre il grado di \(x q^2(x) \) è dispari. Assurdo!
Mi domandavo. Questa argomentazione, se valida, funziona per ogni campo \(K\)?
Detto in altre parole, se \(K\) è un campo allora \( K(x)\) non è mai algebricamente chiuso?
Io direi falso.
Se \( \mathbb{C}(x) \) è algebricamente chiuso allora per ogni polinomio (edit: evidentemente non costante :edit) \( p(t) \in \mathbb{C}(x)[t] \) esiste \( \alpha \in \mathbb{C}(x) \) tale che \( p(\alpha)=0\).
Consideriamo \(t^2- x \in \mathbb{C}(x)[t] \), supponiamo che esiste \( \alpha = p(x)/q(x) \) con \( p(x) \in \mathbb{C}[x] \) e \( q(x) \in \mathbb{C}[x]^* \) tale che \( \alpha^2 - x = 0 \) ma allora \( p^2(x)=xq^2(x) \) ma il grado di \(p \) è pari mentre il grado di \(x q^2(x) \) è dispari. Assurdo!
Mi domandavo. Questa argomentazione, se valida, funziona per ogni campo \(K\)?
Detto in altre parole, se \(K\) è un campo allora \( K(x)\) non è mai algebricamente chiuso?
Risposte
Lo stesso argomento funziona con $K$ generico, sì (ora non ho voglia di controllare se anche quando $K$ ha caratteristica 2... ma se l'ha, e in caso qualcosa non funzionasse, basta prendere $t^3-x$, o $t^p$ con $p$ primo dispari a caso, o qualcosa del genere)
Perfetto grazie!
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