Campi intermedi
Ciao a tutti! Non mi è chiara una cosa nella risoluzione di questo esercizio:
"Quanti sono i campi intermedi $L$ dell'estensione $GF(4) sub GF(64) $?"
Nessuno. $K=GF(2^2)subGF(2^6)=F$ ha grado $n=3$ in quanto $|F|=|K|^n$ , ovvero $64=4^3$. Poichè 3 è un numero primo se vi fosse un campo intemedio il suo grado sarebbe divisore di 3.
Non mi è chiaro perchè $|F|=|K|^n$..credo sia legato al lemma sul grado ma non riesco a capire come.
Grazie in anticipo!
"Quanti sono i campi intermedi $L$ dell'estensione $GF(4) sub GF(64) $?"
Nessuno. $K=GF(2^2)subGF(2^6)=F$ ha grado $n=3$ in quanto $|F|=|K|^n$ , ovvero $64=4^3$. Poichè 3 è un numero primo se vi fosse un campo intemedio il suo grado sarebbe divisore di 3.
Non mi è chiaro perchè $|F|=|K|^n$..credo sia legato al lemma sul grado ma non riesco a capire come.
Grazie in anticipo!
Risposte
Parti dalla definizione di $GF(2^n)$: è il crc di $x^(2^n)-x$ (che coincide con l'insieme degli zeri di $x^(2^n)-x$) su $ZZ_2$. Quindi $GF(2^n)$ è uno spazio vettoriale di $2^n$ elementi su un campo di 2 elementi, cioè la base deve avere $n$ elementi, cioè $[GF(2^n):ZZ_2] = n$.
Quindi $[GF(2^2):ZZ_2] = 2$, $[GF(2^6):ZZ_2] = 6$ e $[GF(2^6):ZZ_2] = [GF(2^2):ZZ_2]\cdot[GF(2^6):GF(2^2)]$, da cui $[GF(2^6):GF(2^2)] = 3$.
Quindi $[GF(2^2):ZZ_2] = 2$, $[GF(2^6):ZZ_2] = 6$ e $[GF(2^6):ZZ_2] = [GF(2^2):ZZ_2]\cdot[GF(2^6):GF(2^2)]$, da cui $[GF(2^6):GF(2^2)] = 3$.
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