Campi finiti
Vi trovate col fatto che $ Z_3 \cdot Z_3 $ è isomorfo a $ F_9 $ ? Con $F_9$ indico il campo finito di 9 elementi.
Risposte
$prod_(j=1)^(n)(ZZ)/(pZZ) cong$ \( \mathbb{F}_{p^n} \) con $n=2$ e concludi no?
È qualche anno che non tocco queste cose e ho perso dimistichezza con i gruppi quoziente, infatti non riesco ad interpretare il primo membro di quell’isomorfismo e quindi di conseguenza se ho detto una cavolata all’inizio della discussione 
Semplicemente $(ZZ)/(pZZ):=ZZ_(p)$ quindi significa che il prodotto di $k$ copie di $ZZ_p$ è isomorfo al campo finito con $p^k$ elementi
Quindi quello che hai scritto è corretto poiché $ZZ_3 timesZZ_3$ È isomorfo a $F_(3^2)$
Intendevo $(ZZ)/(pZZ)$ e non $(ZZ)/(ZZ_p)$
Quindi quello che hai scritto è corretto poiché $ZZ_3 timesZZ_3$ È isomorfo a $F_(3^2)$
Intendevo $(ZZ)/(pZZ)$ e non $(ZZ)/(ZZ_p)$
Grazie mille !
"anto_zoolander":
$prod_(j=1)^(n)(ZZ)/(pZZ) cong$ \( \mathbb{F}_{p^n} \) con $n=2$ e concludi no?
Mi dimostri questa cosa, per favore?
Se non hai voglia di dimostrarlo tu stesso e dai una referenza devi almeno far capire in quale punto dimostra quello che affermi, quindi dov'è che in quel link dimostra quello che tu affermi?
Non lo dimostra è una di quelle cose che ho preso per fede.
Non andatemi contro per ogni cosa!
Non andatemi contro per ogni cosa!
Ti garantisco che non ti diamo contro a prescindere, ma quando dici cose sbagliate è giusto farle notare (a maggior ragione quando le stai dicendo a qualcuno che sta chiedendo una mano).
In pratica non è vero che $prod_(j=1)^(n)(ZZ)/(pZZ) cong$ \( \mathbb{F}_{p^n} \) e un modo semplice per vederlo è notando che un prodotto di almeno due anelli (ognuno dei quali ha almeno 2 elementi) non è mai un campo perché l'elemento $(1,0,...,0)$ non può essere invertibile perché se lo moltiplichi per un generico elemento dell'anello $(a_1,...,a_n)$ ti dà $(a_1,0,...,0)!=(1,...,1)$.
Tornando alla domanda iniziale il discorso di prima si applica anche con $ZZ_3\timesZZ_3$, che non è un campo, in particolare non può essere isomorfo a $\mathbb{F}_9$.
In pratica non è vero che $prod_(j=1)^(n)(ZZ)/(pZZ) cong$ \( \mathbb{F}_{p^n} \) e un modo semplice per vederlo è notando che un prodotto di almeno due anelli (ognuno dei quali ha almeno 2 elementi) non è mai un campo perché l'elemento $(1,0,...,0)$ non può essere invertibile perché se lo moltiplichi per un generico elemento dell'anello $(a_1,...,a_n)$ ti dà $(a_1,0,...,0)!=(1,...,1)$.
Tornando alla domanda iniziale il discorso di prima si applica anche con $ZZ_3\timesZZ_3$, che non è un campo, in particolare non può essere isomorfo a $\mathbb{F}_9$.
Ma porre le domande con una leggera gentilezza non ha mai ucciso nessuno.
non me la sono uscita dal sacco
sicuramente non sarà un campo in quanto non è un dominio di integrità, ma magari si intende come isomorfismo di gruppi additivi, no?
non me la sono uscita dal sacco
sicuramente non sarà un campo in quanto non è un dominio di integrità, ma magari si intende come isomorfismo di gruppi additivi, no?
magari si intende come isomorfismo di gruppi additivi, no?
"Clipsony":
Vi trovate col fatto che $ Z_3 \cdot Z_3 $ è isomorfo a $ F_9 $ ? Con $F_9$ indico il campo finito di 9 elementi.
Non è quello che chiedeva l'OP.
Però che senso avrebbe chiedere che l’isomorfismo sia di campi, se al più $ZZ_3timesZZ_3$ è un anello commutativo con unità?
A questo punto non ho più che dire
A questo punto non ho più che dire
Il mio dubbio è nato leggendo il fatto che il gruppo moltiplicativo di un campo finito è un gruppo ciclico. Considerato un campo di ordine 9, gli unici due gruppi di ordine 9 esistenti a meno di isomorfismi sono $ Z_9 $ e $ Z_3 x Z_3 $ ( è vero giusto ?) , ma siccome $Z_9$ non è nemmeno un dominio di integrità ho pensato che quindi necessariamente si avesse che $ Z_3 x Z_3$ (Aggiungendoci l’operazione di somma per renderlo un campo) fosse isomorfo al campo finito di ordine 9 ... in tutto ciò mi è venuto il dubbio perchè il gruppo moltiplicativo $ Z_3 x Z_3 $ non è nemmeno un gruppo ciclico.. quindi in conclusione mi verrebbe un assurdo che però non può esserci.. sapete dirmi che cosa sbaglio nel mio ragionamento ?
Il gruppo moltiplicativo di un campo è formato dagli elementi del campo meno lo 0, che in questo caso ha ordine 8.
$F=F_9$ è un campo con $9$ elementi. Ha due operazioni: somma e prodotto. Se dimentichiamo il prodotto otteniamo semplicemente un gruppo additivo, e $F$ è isomorfo a $ZZ_3 xx ZZ_3$ come gruppo additivo.
Ma $ZZ_3 xx ZZ_3$ è anche un anello con le operazioni per componente
(cioè $(x,y)(z,w)=(xz,yw)$ e $(x,y)+(z,w)=(x+z,y+w)$).
Con queste operazioni $ZZ_3 xx ZZ_3$ non è un campo. Quindi non esiste nessun isomorfismo di anelli tra $F$ e $ZZ_3 xx ZZ_3$.
L'esercizio sicuramente chiedeva solo di dimostrare che $F$ e $ZZ_3 xx ZZ_3$ sono isomorfi come gruppi additivi.
Ma $ZZ_3 xx ZZ_3$ è anche un anello con le operazioni per componente
(cioè $(x,y)(z,w)=(xz,yw)$ e $(x,y)+(z,w)=(x+z,y+w)$).
Con queste operazioni $ZZ_3 xx ZZ_3$ non è un campo. Quindi non esiste nessun isomorfismo di anelli tra $F$ e $ZZ_3 xx ZZ_3$.
L'esercizio sicuramente chiedeva solo di dimostrare che $F$ e $ZZ_3 xx ZZ_3$ sono isomorfi come gruppi additivi.
Giusto, ora mi è tutto più chiaro, grazie a tutti
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