Campi e polinomi

[Hop Frog1]

Per essere sicuro di aver "amalgamato" i vari concetti vorrei che mi deste un occhiata al seguente mio ragionamento e mi dite se torna..

1° Parte

Sia [tex]f \in \mathbb{R} [X][/tex] , [tex]f= X^4+1[/tex] .
Come ben sappiamo, f non ha radici in [tex]\mathbb{R}[/tex] .

Prima di tutto voglio sapere se è irriducibile.
Se non lo fosse, potrei scrivere f come prodotto di 2 polinomi: [tex]f=g*h[/tex]
Dato che siamo in un dominio, [tex]deg(f)=deg(g)+deg(h)[/tex].

I casi possibili sono:
deg(g) deg(h)
1 3
2 2
3 1

Dunque, f abbiamo detto che non ha soluzioni, quindi il primo e il terzo caso sono da scartare.
Rimane quindi da considerare due poliomi di grado 2, dato che f è monico e ha termine noto 1, i casi si restringono a:

[tex]g(x)[/tex] [tex]h(x)[/tex]
[tex](X^2+1)[/tex] [tex](X^2+1)[/tex]
[tex](X^2-1)[/tex] [tex](X^2-1)[/tex]
[tex](-X^2+1)[/tex] [tex](-X^2+1)[/tex]
[tex](-X^2-1)[/tex] [tex](-X^2-1)[/tex]

nessuna di queste combinazioni dà f, quindi f è irriducibile.

2° Parte

Ora posso considerare 3 (?) radici distinte del polinomio, j,k,q.
E creo l' estensione di [tex]\mathbb{R}[/tex] :

[tex]\mathbb{F} =\mathbb{R}(j,k,q)[/tex]

F è estensione di R, quindi posso interpretare F come spazio vettoriale su R.
Ora, sulla dimensione di questo spazio posso dire che
[tex]dim(\mathbb{F} )=deg(f)=4[/tex] ?

E in questo caso, posso dire che [tex]{1,j,k,q}[/tex] è una base di questo spazio??

[Studente Anonimo]

Attento, [tex]\mathbb{R}[/tex] non ha estensioni di grado 4 (altrimenti [tex]\mathbb{C}[/tex] avrebbe estensioni di grado 2 ).

[tex]X^4+1 = (X^2+1)^2-(\sqrt{2}X)^2 = (X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1)[/tex].

[Hop Frog1]

quindi R non può avere estensioni di dimensione maggiore di 2?
ma da cosa deriva ciò?

[Studente Anonimo]

"Hop Frog":quindi R non può avere estensioni di dimensione maggiore di 2?
ma da cosa deriva ciò?

Dal teorema fondamentale dell'algebra.

Se hai un polinomio su $RR$ puoi fattorizzarlo su $CC$ ed accoppiare i fattori coniugati, [tex](x-a)(x-\bar{a}) = x^2-(a+\bar{a})x+a \bar{a}[/tex] è un polinomio reale. Quindi come vedi i polinomi irriducibili su $RR$ possono avere grado solo 1 o 2.