Campi e anelli quoziente...
Scusate... non mi trovo con il seguente esecizio ....
Sia $A = Q^{Q}$ l' insieme delle funzioni $f: Q \rightarrow Q$. Sia $I_{0} = {f \in A | f(z) = 0 \forall z \in Z}$.
Mi chiede se $A/I_{0}$ è un dominio e/o un campo.
Per quanto riguarda il dominio..... Risponderei di no perché esistono elementi non nulli nell'anello quoziente il cui prodotto mi ritorna l'elemento nullo del quoziente. Ovvero date le funzioni $f: Q \rightarrow Q$ con
$f(x) = 0$ se $ x \leq 0, x$ altrimenti, e $g(x) = x $ se $x \leq 0$, e $0$ altrimenti. Allora $f(x) + I_{0}$ e $g(x) + I_{0} \in A/I_{0}$ sono elementi non nulli e $(f + I_{0})(g + I_{0}) = I_{0} = 0 + I_{0}$.... Quindi non è un dominio.
Per il campo dovrebbe essere: No.... in quanto se non è un dominio non può essere neanche un campo (? giusto? se un elemento è divisore dello zero non può essere unità.)
Infatti se prendo l'elemento $f + I_{0} \neq 0 + I_{0}$ ad esempio con $f(x) = 0$ se $x$ non appartiene a $Z$, $x$ altrimenti: questo elemento non ammette inverso ...
Quindi non è un campo ....
Poi l'insieme degli ideli del quoziente....
L'insieme degli ideali di $A/I_{0}$ è formato da ideali del tipo $J/I_{0}$ dove $J$ è un ideale che contiene $I_{0}$ e quindi deve contenere tutte le funzioni che sugli interi si annullano.
Non riesco a trovare ideali propri che contengono $I_{0}$ e che siano diversi da questo... Quindi mi verrebbe da dire che $I_{0}$ è massimale..... Ma allora il quoziente è un campo ...
Dove sto sbagliando ?
Sia $A = Q^{Q}$ l' insieme delle funzioni $f: Q \rightarrow Q$. Sia $I_{0} = {f \in A | f(z) = 0 \forall z \in Z}$.
Mi chiede se $A/I_{0}$ è un dominio e/o un campo.
Per quanto riguarda il dominio..... Risponderei di no perché esistono elementi non nulli nell'anello quoziente il cui prodotto mi ritorna l'elemento nullo del quoziente. Ovvero date le funzioni $f: Q \rightarrow Q$ con
$f(x) = 0$ se $ x \leq 0, x$ altrimenti, e $g(x) = x $ se $x \leq 0$, e $0$ altrimenti. Allora $f(x) + I_{0}$ e $g(x) + I_{0} \in A/I_{0}$ sono elementi non nulli e $(f + I_{0})(g + I_{0}) = I_{0} = 0 + I_{0}$.... Quindi non è un dominio.
Per il campo dovrebbe essere: No.... in quanto se non è un dominio non può essere neanche un campo (? giusto? se un elemento è divisore dello zero non può essere unità.)
Infatti se prendo l'elemento $f + I_{0} \neq 0 + I_{0}$ ad esempio con $f(x) = 0$ se $x$ non appartiene a $Z$, $x$ altrimenti: questo elemento non ammette inverso ...
Quindi non è un campo ....
Poi l'insieme degli ideli del quoziente....
L'insieme degli ideali di $A/I_{0}$ è formato da ideali del tipo $J/I_{0}$ dove $J$ è un ideale che contiene $I_{0}$ e quindi deve contenere tutte le funzioni che sugli interi si annullano.
Non riesco a trovare ideali propri che contengono $I_{0}$ e che siano diversi da questo... Quindi mi verrebbe da dire che $I_{0}$ è massimale..... Ma allora il quoziente è un campo ...
Dove sto sbagliando ?
Risposte
Innanzitutto, $Q$ sono i razionali, e $Z$ gli interi? In matematica gli insiemi di numeri si denotano cambiando corpo della fonte usata di solito per le variabili: \(\mathbb Q,\mathbb Z\) o \(\mathbf Q,\mathbf Z\).
Ora, l'ideale di $A=QQ^QQ$ che hai in mano è della forma \(I_U := \{f \in A \mid f|_U \equiv 0\}\): è un ideale dato dalle endo-funzioni di \(\mathbb Q\) che, ristrette a un sottoinsieme \(U\subseteq \mathbb Q\), sono la funzione costante in 0.
E' evidente che, quando \(U\subseteq V\) sono due sottoinsiemi uno contenuto nell'altro, ogni funzione che si annuma su $V$ si annulla, a fortiori, su $U$, sicché hai una inclusione \(I_V\subseteq I_U\), che definisce un antimorfismo di reticoli \(2^\mathbb Q \to \text{Idl}(\mathbb Q^\mathbb Q)\) (a codominio, l'insieme degli ideali di $A$) che manda \(U\mapsto I_U\).
Conseguenza diretta di questo fatto è che gli ideali massimali di $A$ sono gli atomi di \(2^\mathbb Q\), ossia gli ideali della forma \(I_x = I_{\{x\}} = \{f\in A\mid f(x)=0\}\).
Nota che
1. L'insieme dei razionali e degli interi non giocano alcun ruolo in questa costruzione; dato un qualsiasi anello $R$, l'anello delle funzioni $R^X$ dotato delle operazioni puntuali ha tra i suoi ideali tutti gli $I_U$ al variare di \(U\subseteq X\).
2. Nel tuo caso specifico, puoi domandarti se per caso gli ideali di $A$ siano tutti della forma $I_U$; se così è, puoi sperare che gli ideali di $A$ che contengono $I_0$, ossia gli ideali del quoziente \(A/I_0\), siano tutti e soli gli $I_V$ al variare di \(V\subseteq U\) (recuperando tra l'altro il fatto che se \(\{t\}\in 2^\mathbb Q\) è un atomo, l'ideale $I_t$ è massimale).
Ora, l'ideale di $A=QQ^QQ$ che hai in mano è della forma \(I_U := \{f \in A \mid f|_U \equiv 0\}\): è un ideale dato dalle endo-funzioni di \(\mathbb Q\) che, ristrette a un sottoinsieme \(U\subseteq \mathbb Q\), sono la funzione costante in 0.
E' evidente che, quando \(U\subseteq V\) sono due sottoinsiemi uno contenuto nell'altro, ogni funzione che si annuma su $V$ si annulla, a fortiori, su $U$, sicché hai una inclusione \(I_V\subseteq I_U\), che definisce un antimorfismo di reticoli \(2^\mathbb Q \to \text{Idl}(\mathbb Q^\mathbb Q)\) (a codominio, l'insieme degli ideali di $A$) che manda \(U\mapsto I_U\).
Conseguenza diretta di questo fatto è che gli ideali massimali di $A$ sono gli atomi di \(2^\mathbb Q\), ossia gli ideali della forma \(I_x = I_{\{x\}} = \{f\in A\mid f(x)=0\}\).
Nota che
1. L'insieme dei razionali e degli interi non giocano alcun ruolo in questa costruzione; dato un qualsiasi anello $R$, l'anello delle funzioni $R^X$ dotato delle operazioni puntuali ha tra i suoi ideali tutti gli $I_U$ al variare di \(U\subseteq X\).
2. Nel tuo caso specifico, puoi domandarti se per caso gli ideali di $A$ siano tutti della forma $I_U$; se così è, puoi sperare che gli ideali di $A$ che contengono $I_0$, ossia gli ideali del quoziente \(A/I_0\), siano tutti e soli gli $I_V$ al variare di \(V\subseteq U\) (recuperando tra l'altro il fatto che se \(\{t\}\in 2^\mathbb Q\) è un atomo, l'ideale $I_t$ è massimale).
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