Campi di spezzamento isomorfi (o uguali?)
Ciao ragazzi.
Come da titolo, ho un problema riguardante campi di spezzamento di un dato polinomio $f$ definito in $F[x]$, $F$ campo.
Noi abbiamo dato come definizione questa: $K$ è un campo di spezzamento di $f$ definito in $F[x]$, $F$ campo se:
1) $f$ ha tutte le radici in $K[x]$;
2) $K=F[a1,.....,an]$ con $a1,.....,an$ radici di $f$.
Quello che non capisco è, a fronte di questa definizione, perché ci sia bisogno di dimostrare (e noi lo facciamo) che due campi di spezzamento di uno stesso polinomio definito su uno stesso campo siano isomorfi. Come potrebbero essere distinti? Prendo il campo e lo estendo con le radici, cosa altro potrei trovare?
Grazie, buona domenica a tutti!
Come da titolo, ho un problema riguardante campi di spezzamento di un dato polinomio $f$ definito in $F[x]$, $F$ campo.
Noi abbiamo dato come definizione questa: $K$ è un campo di spezzamento di $f$ definito in $F[x]$, $F$ campo se:
1) $f$ ha tutte le radici in $K[x]$;
2) $K=F[a1,.....,an]$ con $a1,.....,an$ radici di $f$.
Quello che non capisco è, a fronte di questa definizione, perché ci sia bisogno di dimostrare (e noi lo facciamo) che due campi di spezzamento di uno stesso polinomio definito su uno stesso campo siano isomorfi. Come potrebbero essere distinti? Prendo il campo e lo estendo con le radici, cosa altro potrei trovare?
Grazie, buona domenica a tutti!
Risposte
Rifletti sulla dimostrazione della dimostrazione del campo di spezzamento:
Un lemma necessario era far vedere che dato il campo $F$, dato un polinomio irriducibile $p(x)$, c'è un'immersione $F\toF[x]\//(p(x))$, che manda gli elementi di $a$ di $F$ nella classe del polinomio costante $a$ modulo $p(x)$. Si diceva che $p(x)$ ha una radice in $F[x]\//(p(x))$, che è proprio $\bar{x}$. Questo genera un po' di confusione.
In realtà è il trasformato di questo polinomio tramite il monomorfismo che ha una radice in $F[x]\//(p(x))$.
Se $p(x)=a_0+...+a_nx^n$, in realtà (se si vuol essere formalmente precisi) è il polinomio $\bar(p)(y):=\bar{a_0}+...+\bar{a_n}y^n\in (F[x]\//(p(x)))[y]$ ad avere radice $\bar{x}$.
E' possibile però che a priori ci potrebbero essere altre immersioni in cui magari la radice non è $\bar{x}$ ma un altra.
Prendi ad esempio il polinomio $x^2+1\inRR[x]$, $RR[x]\//(x^2+1)$ è un campo di spezzamento, ma in realtà anche $RR[x]\//(x^2+2)$ lo è (sapresti dire qual è la radice in questo caso?), formalmente però non sono la stessa cosa.
Un lemma necessario era far vedere che dato il campo $F$, dato un polinomio irriducibile $p(x)$, c'è un'immersione $F\toF[x]\//(p(x))$, che manda gli elementi di $a$ di $F$ nella classe del polinomio costante $a$ modulo $p(x)$. Si diceva che $p(x)$ ha una radice in $F[x]\//(p(x))$, che è proprio $\bar{x}$. Questo genera un po' di confusione.
In realtà è il trasformato di questo polinomio tramite il monomorfismo che ha una radice in $F[x]\//(p(x))$.
Se $p(x)=a_0+...+a_nx^n$, in realtà (se si vuol essere formalmente precisi) è il polinomio $\bar(p)(y):=\bar{a_0}+...+\bar{a_n}y^n\in (F[x]\//(p(x)))[y]$ ad avere radice $\bar{x}$.
E' possibile però che a priori ci potrebbero essere altre immersioni in cui magari la radice non è $\bar{x}$ ma un altra.
Prendi ad esempio il polinomio $x^2+1\inRR[x]$, $RR[x]\//(x^2+1)$ è un campo di spezzamento, ma in realtà anche $RR[x]\//(x^2+2)$ lo è (sapresti dire qual è la radice in questo caso?), formalmente però non sono la stessa cosa.
Ho capito, grazie mille!
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