Campi di spezzamento e gruppi di Galois
Ri-salve a tutti,
mi sono imbattuto in un altro esercizio che mi suscita dubbi.
Sia [tex]f(x)=(x^4-2)(x^3-27)\in Q[x][/tex], sia K il suo campo di spezzamento su [tex]Q[/tex], sia G il suo gruppo di Galois su [tex]Q[/tex]. Calcolare il grado dell'estensione e trovare un insieme di generatori per G e le loro relazioni. Quale è la struttura di G come gruppo astratto?
Beh, ho trovato che il grado dell'estensione è 16. Ma per trovare i generatori di G? Insomma, G ha 16 elementi, ma di gruppi di 16 elementi ce n'è più d'uno... Dunque, devo classificare il gruppo e poi trovare dei generatori, oppure c'è una via un po' più agevole? In fin dei conti so già che G è il gruppo degli automorfismi di K che lasciano fisso [tex]Q[/tex] e che, tra l'altro, il campo fisso è [tex]Q[/tex] stesso...[/tex]
mi sono imbattuto in un altro esercizio che mi suscita dubbi.
Sia [tex]f(x)=(x^4-2)(x^3-27)\in Q[x][/tex], sia K il suo campo di spezzamento su [tex]Q[/tex], sia G il suo gruppo di Galois su [tex]Q[/tex]. Calcolare il grado dell'estensione e trovare un insieme di generatori per G e le loro relazioni. Quale è la struttura di G come gruppo astratto?
Beh, ho trovato che il grado dell'estensione è 16. Ma per trovare i generatori di G? Insomma, G ha 16 elementi, ma di gruppi di 16 elementi ce n'è più d'uno... Dunque, devo classificare il gruppo e poi trovare dei generatori, oppure c'è una via un po' più agevole? In fin dei conti so già che G è il gruppo degli automorfismi di K che lasciano fisso [tex]Q[/tex] e che, tra l'altro, il campo fisso è [tex]Q[/tex] stesso...[/tex]
Risposte
Eh, no l'esercizio ti chiede di determinare esplicitamente il gruppo di Galois, quindi non c'è niente da fare... Devi proprio sporcarti le mani! 
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