Campi di spezzamento

[daenerys1]

Ho il seguente problema:

Sia E = Q (a1 a2 a3 a4 a5 a6) (in C) di $x^6 + 3x^3 -10$ trovare [Q(a_i):Q] per $1<= i<=6$ e trovare [E,Q]


Allora prima di tutto considero il polinomio $x^6 + 3x^3 -10$ e vedo se è irriducibile o meno in Q, e siccome posso scomporlo in $(x^3 + 5)(x^3 -2)$, non lo è.. adesso precisamente come dovrei procedere?
cioè io adesso ho che entrambi i polinomi sono irriducibili e se considero esempio E= Q/ $(x^3 + 5)$ questo ha una radice in (x^3 + 5) e quindi anche una nel polinomio di partenza, perciò, [Q(a_i):Q] dovrebbe essere = 2 ?

[Kashaman]

SIano $\alpha_1,...,\alpha_6$ le radici di $f$. Quello che devi fare è costruirti il campo di spezzamento $E$ di $f$. (Che sai esistere ed è unico a meno di isomorfismi.) Per definizione di Campo di spezzamento
$E$ è ovviamente un campo, $f$ si spezza su $E$ in fattori lineari e ciò non avviene su di un sottocampo $K$ proprio di $E$.
L'idea è quella di aggiungere, passo per passo, a $Q$ le radici di $f$. Il "procedimento" che devi seguire è nascosto, probabilmente, nella dimostrazione,che probabilmente hai visto, dell'esistenza di tale $E$.