Campi di Spezzamento

[Gil-Galad]

Salve.
Sto risolvendo il seguente esercizio:
"Determinare il campo di spezzamento del polinomio $f=x^3+x^2+2\in ZZ_3[x]$"
Noto che $f$ è irriducibile in $ZZ_3[x]$ dunque il quoziente $E={ZZ_3[x]}/{(x^3+x^2+2)]$ è un campo. So che in esso si trova una radice di $f$, ovvero $x+(x^3+x^2+2)$.
Sospetto quindi che nel quoziente vi siano anche le altre. Senza testare tutti gli elementi del quoziente posso dire che esso è il campo di spezzamento di $f$ dato che il quoziente ha $3^3=27$ elementi e che perciò è isomorfo a $F_27$?
Inoltre se voglio calcolare $[E:ZZ_3]$ se è vero ciò che ho detto prima concludo semplicemente dicendo che:
$E~= F_27 \Rightarrow [E:ZZ_3]=[F_27:ZZ_3]=3$ ?
Grazie

[Studente Anonimo]

È giusto ma non è ben giustificato. Ti consiglio di usare il teorema che dice che se un polinomio irriducibile su un campo finito K ha uno zero in un'estensione finita L di K allora si spezza in fattori lineari su L.

In altre parole le estensioni finite dei campi finiti sono estensioni di Galois.

[jJjjJ1]

Puoi procedere anche così: ovviamente un campo di spezzamento su un campo finito sarà un campo finito, dunque $E = GF(3^n)$ Si tratta di determinare $n$. Osserva che $|Gal(E|Z_3)| = [E:Z_3] = n $ perché l'estensione è di Galois. Ora osserva che il gruppo di Galois dell'estensione agisce fedelmente e transitivamente sulle radici del polinomio, poiché questo è irriducibile. Allora il Gruppo di Galois è isomorfo ad un sottogruppo transitivo di $S_3$. Può essere $S_3$ o il gruppo ciclico generato da un 3-ciclo. Osserva che, non so se lo sai, il gruppo di Galois di $GF(p^n)|Z_p$ è ciclico di ordine $n$ ( generato dall'omomorfismo di Frobenius ). Dunque si ha che $Gal(E|Z_3)$ è isomorfo al sottogruppo generato da un $3$-ciclo di $S_3$ il che implica $[E:Z_3] = 3$ e dunque, a meno di isomorfismi, $E = GF(3^3)$

[Gil-Galad]

Non abbiamo parlato di gruppi del mitico Galois