Campi di spezzamento

[magicavale1]

si consideri il polinomio f= $x^6$+3 $in$ $ZZ_7$[x].
a)calcolare il campo di spezzamento E di f su $ZZ_7$ e determinare il numero di elementi
b)determinare una base di E su $ZZ_7$ e la sua tavola di moltiplicazione
c)calcolare tutte le radici di f in forma normale rispetto a tale base


allora il polinomio è irriducibile in $ZZ_7$, considero $ZZ_7$[$\alpha$] $~=$ $ZZ_7$[x]/ ($x^6$+3) dove
$\alpha$ è una radice del polinomio, devo provare che E=$ZZ_7$[$\alpha$]
come faccio?

[j18eos]

Inizia a scomporre \(\displaystyle x^6+3\) su \(\displaystyle\mathbb{Z}_7(\alpha)\) (in genere si utilizzano e parentesi tonde e non le medesime quadre).

[magicavale1]

non lo riesco a scomporre

[j18eos]

Ti ricordi come si scompone \(\displaystyle x^n+1\) su \(\displaystyle\mathbb{C}\) con \(\displaystyle n\geq2\)?

[magicavale1]

no

[j18eos]

...e per \(\displaystyle n=2\)?

[magicavale1]

(x-i)(x+i)

[j18eos]

Ok, eppoi negli altri casi? Quale ragionamento fai per ottenere tali risultati?

[magicavale1]

($x^6$+3)=($x^6$-4)=($x^3$-2)($x^3$+2)
c'è un teorema che afferma che se un polinomio è irriducibile in $ZZ_(p)$ allora l'estensione è semlice.
poichè questo polinomio non ammette radici in $ZZ_(7)$ allora è irriducibile e quindi posso dire che l'estensione è semplice e prendere $\alpha$ come radice?

[j18eos]

Eh no, scusami ma hai appena scomposto \(\displaystyle x^6+3\): non puoi dire che sia irriducibile su \(\displaystyle\mathbb{Z}_7\)!

Quei polinomi sono irriducibili, basta fare qualche semplice calcolo (modulo \(\displaystyle7\)).