Campi
Devo dimostare il seguente:
Se A e B campi => AxB non è un campo.
Io ho pensato che AxB può essere un anello (vedi ZxZ), quindi o mancava l' inverso rispetto la moltiplicazione o non era abeliana.
ma l' abelianità mi sembra ovvia e l' inverso:
$ (a, b)*(a^{-1}, b^{-1}) = (1,1) $
Dunque non so proprio che pensare..
Se A e B campi => AxB non è un campo.
Io ho pensato che AxB può essere un anello (vedi ZxZ), quindi o mancava l' inverso rispetto la moltiplicazione o non era abeliana.
ma l' abelianità mi sembra ovvia e l' inverso:
$ (a, b)*(a^{-1}, b^{-1}) = (1,1) $
Dunque non so proprio che pensare..
Risposte
Puoi pensare che, in particolare, ogni campo è un dominio di integrità.
E sei sicuro che l'anello prodotto di due anelli integri è ancora integro?
$(0,1)(1,0)=...$
Ma allora l'anello prodotto non è integro, e dunque non può essere nemmeno un campo.
Mi hai seguito?
E sei sicuro che l'anello prodotto di due anelli integri è ancora integro?
$(0,1)(1,0)=...$
Ma allora l'anello prodotto non è integro, e dunque non può essere nemmeno un campo.
Mi hai seguito?
eh, aspetta ma è qui il punto!
io ci avevo pensato sai??
infatti mi ero accorto che quello non era un dominio di integrità proprio per quel motivo, ma non capisco cosa c entri con l essere campo.
Il campo da quanto so è:
(C,+,*)
con (C,+) e (C,*) gruppi abeliani e la solita distributività tra + e *..
perchè deve essere integro??
io ci avevo pensato sai??
infatti mi ero accorto che quello non era un dominio di integrità proprio per quel motivo, ma non capisco cosa c entri con l essere campo.
Il campo da quanto so è:
(C,+,*)
con (C,+) e (C,*) gruppi abeliani e la solita distributività tra + e *..
perchè deve essere integro??
Si può dimostrare - è un facile esercizio - che ogni campo è un dominio di integrità.
P.S. Sul finito vale anche il viceversa: detto altrimenti, sul finito i concetti di campo e dominio sono equivalenti.
P.S. Sul finito vale anche il viceversa: detto altrimenti, sul finito i concetti di campo e dominio sono equivalenti.
ma allora..
esisterebbe un modo per dimostrare che quello non è un campo secondo le caratteristiche che ho detto io?
Anche perchè sennò vuol dire che manca qualcosa in quelle caratteristiche necessarie..
esisterebbe un modo per dimostrare che quello non è un campo secondo le caratteristiche che ho detto io?
Anche perchè sennò vuol dire che manca qualcosa in quelle caratteristiche necessarie..
bisogna essere più precisi...
cosa mi diresti di $RR$x$RR$, che è isomorfo a $CC$?è un campo, eppure..
ciò che vuoi dimostrare è che dati due campi $F$ e $F'$ allora $(F$x$F'),+,*$ con + e * le operazioni ereditate dai due campi non è un campo.
e si fa come dice Paolo, perchè si dimostra che un campo è anche un dominio di integrità.
comunque puoi anche osservare che ci sono elementi che non hanno inverso moltiplicativo tipo la coppia $(1,0)$, che tra l'altro è proprio uno di quelli che ti mostrano anche che non è un dominio di integrità...magari c'è una qualche relazione tra le due cose?
OSS. io scrivo la coppia $(1,0)$ ma bada bene che è composta da elementi di campi diversi, sui quali sono definite operazioni diverse.
cosa mi diresti di $RR$x$RR$, che è isomorfo a $CC$?è un campo, eppure..
ciò che vuoi dimostrare è che dati due campi $F$ e $F'$ allora $(F$x$F'),+,*$ con + e * le operazioni ereditate dai due campi non è un campo.
e si fa come dice Paolo, perchè si dimostra che un campo è anche un dominio di integrità.
comunque puoi anche osservare che ci sono elementi che non hanno inverso moltiplicativo tipo la coppia $(1,0)$, che tra l'altro è proprio uno di quelli che ti mostrano anche che non è un dominio di integrità...magari c'è una qualche relazione tra le due cose?
OSS. io scrivo la coppia $(1,0)$ ma bada bene che è composta da elementi di campi diversi, sui quali sono definite operazioni diverse.
Non ho capito ciò che intendi, hop frog.
Cerco di rispiegare.
$A$ campo $=> A$ è un dominio, idem per $B$. Si vede subito però che $A xx B$ non è un dominio.
Ma se $"campo" =>"dominio"$ hai che $"non dominio"=>"non campo"$. Allora, dal fatto che $A xx B$ non è integro, segue che non può essere nemmeno un campo.
Adesso va meglio?
EDIT: scusa bishop, non avevo letto your post.
Cerco di rispiegare.
$A$ campo $=> A$ è un dominio, idem per $B$. Si vede subito però che $A xx B$ non è un dominio.
Ma se $"campo" =>"dominio"$ hai che $"non dominio"=>"non campo"$. Allora, dal fatto che $A xx B$ non è integro, segue che non può essere nemmeno un campo.
Adesso va meglio?
EDIT: scusa bishop, non avevo letto your post.
Ma scusate.. allora..
voi dite che (1,0) non ha inverso moltiplicativo..
ma neanche 0 ce l ha, quindi quello non sarebbe un campo (quello che contiene lo 0)..
voi dite che (1,0) non ha inverso moltiplicativo..
ma neanche 0 ce l ha, quindi quello non sarebbe un campo (quello che contiene lo 0)..
Lo $0$ non ha inverso per definizione. Qual è la tua definizione di campo?
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