Campi

[squalllionheart]

Rega voglio delle conferme
$ZZ_p$ con $_p$ primo è un campo, alias anello commutativo con unità che ammette inverso per ogni elemento non nullo.
Sono d'accordo che sia anello comutativo rispetto alle ordinarie operazioni e che la classe $1$ faccia da unità ma il fatto che esistano gli inversi per ogni classe resto diversa da zero nn la vedo. Illuminatemi, grazie a presto.

[franced]

Provo con un esempio:
prendiamo $ZZ_7$; sia $x$ l'inverso di $3$.

Devo trovare un $k$ intero tale che:

$3 cdot x = 7 cdot k + 1$

ora questa è un'equazione diofantea:

$3 cdot x - 7 cdot k = 1$

ed è risolubile solo se il MCD(3,7) divide il termine noto.
Ma, visto che MCD(3,7)=1, non ci sono problemi.

Questo vale per ogni $p$ primo.

Francesco Daddi

[squalllionheart]

Grande, grazie.
Ora giustifica il fatto che p deve necessariamente essere primo.
A presto

[franced]

"squalllionheart":Grande, grazie.
Ora giustifica il fatto che p deve necessariamente essere primo.
A presto

Se $p$ non è primo allora esiste $a < p$ tale che MCD(a,p) > 1, e quindi
l'equazione diofantea non ha soluzioni.

[alvinlee881]

"squalllionheart":Grande, grazie.
Ora giustifica il fatto che p deve necessariamente essere primo.
A presto

Affinchè un $ZZ_m$ sia un campo deve essere $m$ primo. Se $m$ non è primo, si prende prende quest'oggetto, $ZZ_m **$$=$$ {bara in ZZ_m |(a,m)=1}$, i cui elementi sono appunto gli $bara$ primi col modulo, e cioè quelli che rendono risolubile la diofantea che ti ha spiegato franed. Questi elementi sono $phi(m)$, cioè la funzione di eulero. Si dimostra che questo insieme è chiuso rispetto al prodotto, e valgono tutti gli assiomi di gruppo (compresa la commutatività della moltiplicazione), quindi $(ZZ_m**,*)$ è un gruppo commutativo. Non essendo però chiuso rispetto alla somma, non è un campo (giusto? lo chiedo come conferma agli esperti...).
Se ne è parlato qui (o meglio, è stato spiegato bene qui da gugo82)
https://www.matematicamente.it/forum/gru ... 24795.html
Ciao

[gugo82]

"alvinlee88":
Affinchè un $ZZ_m$ sia un campo deve essere $m$ primo. Se $m$ non è primo, si prende prende quest'oggetto, $ZZ_m **$$=$$ {bara in ZZ_m |(a,m)=1}$, i cui elementi sono appunto gli $bara$ primi col modulo, e cioè quelli che rendono risolubile la diofantea che ti ha spiegato franed. Questi elementi sono $phi(m)$, cioè la funzione di eulero. Si dimostra che questo insieme è chiuso rispetto al prodotto, e valgono tutti gli assiomi di gruppo (compresa la commutatività della moltiplicazione), quindi $(ZZ_m**,*)$ è un gruppo commutativo. Non essendo però chiuso rispetto alla somma, non è un campo (giusto? lo chiedo come conferma agli esperti...).

Per la stessa definizione di campo, affinchè $(ZZ_m,+,*)$ sia un campo dove risultare $ZZ_m**=ZZ_m-{bar0}$ ma ciò, come ti ha fatto notare Francesco, si verifica se e solo se $m$ è primo.
Pertanto $ZZ_m$ si munisce naturalmente della struttura di campo se e solo se $m$ è primo; negli altri casi (cioè se $m$ è composto), $ZZ_m$ è strutturabile canonicamente come anello commutativo unitario.


@Alvinlee88:

"alvinlee88":
Se ne è parlato qui (o meglio, è stato spiegato bene qui da gugo82)
https://www.matematicamente.it/forum/gru ... 24795.html
Ciao

Beh, "spiegato bene" mi sembra un po' eccessivo! Non che io sia un esperto di Algebra, anzi... diciamo che per quel post ho rimesso insieme alcune conoscenze remote che avevo chissà dove nel cervello!

[alvinlee881]

"gugo82":
Pertanto $ZZ_m$ si munisce naturalmente della struttura di campo se e solo se $m$ è primo; negli altri casi (cioè se $m$ è composto), $ZZ_m$ è strutturabile canonicamente come anello commutativo unitario.

Cosa significa precisamente "strutturabile canonicamene come anello commutativo unitario"?. Il soggetto di questa frase è $ZZ_m**$, definito come sopra? come fa a essere un anello? non è nemmeno un gruppo rispetto alla somma....attendo illuminazioni...

[gugo82]

"alvinlee88":[quote="gugo82"]
Pertanto $ZZ_m$ si munisce naturalmente della struttura di campo se e solo se $m$ è primo; negli altri casi (cioè se $m$ è composto), $ZZ_m$ è strutturabile canonicamente come anello commutativo unitario.

Cosa significa precisamente "strutturabile canonicamene come anello commutativo unitario"?. Il soggetto di questa frase è $ZZ_m**$, definito come sopra? come fa a essere un anello? non è nemmeno un gruppo rispetto alla somma....attendo illuminazioni... [/quote]
Attento a non confondere $ZZ_m$ con $ZZ_m**$!
$ZZ_m**$ è sempre una parte propria di $ZZ_m$ quando si sceglie $|m|>1$.

Nel post precedente mi riferivo proprio a tutto $ZZ_m=ZZ/(mZZ)$, il quale si struttura canonicamente come anello commutativo unitario con le operazioni quoziente indotte dalla somma e dal prodotto di $ZZ$ mediante la proiezione canonica $p:ZZtoZZ_m$ (insomma le usuali $barr+bars=bar(s+r)$ e $barr*bars=bar(r*s)$).

La parte $ZZ_m**$ è costituita dai soli elementi invertibili rispetto a $*$ in $ZZ_m$: $ZZ_m**$ non si può mai strutturare come gruppo rispetto alla somma di $ZZ_m$ (infatti $bar0 notin ZZ_m**$ per alcun $|m|>1$) e quindi non si può dotare di una struttura di anello con le operazioni mutuate da $ZZ_m$!

$ZZ_m$ e $ZZ_m**$: simboli diversi per insiemi distinti e con diverse proprietà algebriche. Non fate confusione.