Calcolo di classi di equivalenza
Salve a tutti, nuovo iscritto con qualche problema nel capire come si deve la matematica discreta ( 
)
Allora l'esercizio che mi sta mettendo in crisi dice di determinare se [tex]R = \{ (a,b) \in Z^2 | 3|(a^2-b^2) \}[/tex] è una relazione di equivalenza, e successivamente chiede di calcolare le classi di equivalenza di 5,7,-2.
Sono riuscito a dimostrare che è una relazione di equivalenza in questo modo
Riflessività: [tex]3|a^2 - a^2 \Rightarrow 3|0[/tex] e questo è vero perchè se non ricordo male qualunque numero divide 0
Simmetria(quella che mi lascia più dubbi): [tex]3|(a^2 - b^2) \Rightarrow 3|(-b^2 + a^2)[/tex] (infatti presi a = 7 e b = 3 [tex]3|49-16[/tex] e [tex]3|-16+49[/tex]
Transitività(penso sia corretto perchè ho preso come esempio una dimostrazione eseguita dalla mia prof su una relazione simile): [tex]3|(a^2 - b^2) \wedge 3|(b^2 - c^2) \Rightarrow 3|(a^2 - b^2 + b^2 - c^2) \Rightarrow 3|a^2 - c^2[/tex]
ma ora sono bloccato da tipo 10 minuti sul calcolo delle classi di equivalenza, non so minimamente come andare avanti dato che non ho la benchè minima idea di come muovermi(o forse non ho proprio capito come si calcola una classe di equivalenza)
Ringrazio anticipatamente chi risponderà.
)Allora l'esercizio che mi sta mettendo in crisi dice di determinare se [tex]R = \{ (a,b) \in Z^2 | 3|(a^2-b^2) \}[/tex] è una relazione di equivalenza, e successivamente chiede di calcolare le classi di equivalenza di 5,7,-2.
Sono riuscito a dimostrare che è una relazione di equivalenza in questo modo
Riflessività: [tex]3|a^2 - a^2 \Rightarrow 3|0[/tex] e questo è vero perchè se non ricordo male qualunque numero divide 0
Simmetria(quella che mi lascia più dubbi): [tex]3|(a^2 - b^2) \Rightarrow 3|(-b^2 + a^2)[/tex] (infatti presi a = 7 e b = 3 [tex]3|49-16[/tex] e [tex]3|-16+49[/tex]
Transitività(penso sia corretto perchè ho preso come esempio una dimostrazione eseguita dalla mia prof su una relazione simile): [tex]3|(a^2 - b^2) \wedge 3|(b^2 - c^2) \Rightarrow 3|(a^2 - b^2 + b^2 - c^2) \Rightarrow 3|a^2 - c^2[/tex]
ma ora sono bloccato da tipo 10 minuti sul calcolo delle classi di equivalenza, non so minimamente come andare avanti dato che non ho la benchè minima idea di come muovermi(o forse non ho proprio capito come si calcola una classe di equivalenza)
Ringrazio anticipatamente chi risponderà.
Risposte
Ricorda la definizione: se \(a\in \mathbb{Z}\), allora la classe d'equivalenza di \(a\) modulo \(R\) è l'insieme
\[[a]=\{b\in\mathbb{Z}\,|\,3\,|\,(a^2-b^2)\}\]
Non c'è altro; devi solo sostituire di volta in volta i numeri e trovare gli interi che verificano le condizioni, magari scritte in modo un po' più simpatico tramite congruenze.
\[[a]=\{b\in\mathbb{Z}\,|\,3\,|\,(a^2-b^2)\}\]
Non c'è altro; devi solo sostituire di volta in volta i numeri e trovare gli interi che verificano le condizioni, magari scritte in modo un po' più simpatico tramite congruenze.
eh, il problema è che non capisco dove devo sostituire i numeri
EDIT. Penso di aver capito, grazie mille ^_^
EDIT2. La soluzione dovrebbe essere [tex]a \in [5] \Leftrightarrow 3|25-b^2[/tex] giusto?
EDIT. Penso di aver capito, grazie mille ^_^
EDIT2. La soluzione dovrebbe essere [tex]a \in [5] \Leftrightarrow 3|25-b^2[/tex] giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo