Calcolo della norma in un campo di numeri
Buon pomeriggio a tutti,
avrei bisogno di un chiarimento sul calcolo della norma in un campo di numeri. Mostro subito un esempio per essere più chiaro.
Sia $ K = mathbb(Q) (zeta_9) $, dove $ zeta_9 $ è la radice ciclotomica nona; chiaramente $ mathbb(Q) sube K $ è un'estensione di campi di numeri. Devo calcolare la norma dell'elemento $ 1+2 zeta_9 ^3 $ (uguale a $ 1+2zeta_3 $), che appartiene a K ma non a $ mathbb(Q) $.
Il mio ragionamento è il seguente: so che la norma di un elemento è (eventualmente a meno del segno) il termine noto del polinomio minimo di quell'elemento su $ mathbb(Q) $. Essendo $ 1+2zeta_3 = sqrt(-3) $, il polinomio minimo di questo elemento su $ mathbb(Q) $ è $ X^2 + 3 $, quindi (tenendo presente che l'estensione ha grado 6) la norma di $ 1+2zeta_3 $ è $ (-1)^6 cdot 3 = 3 $.
Nella soluzione proposta dal professore, invece, si legge: poiché $ 1+2zeta_3 = sqrt(-3) $, la norma di $ 1+2zeta_3 $ vale $ 3^3 $, quasi come se elevasse alla sesta (a parte il segno) $ sqrt(-3) $... ma questa operazione più veloce, se ho ben capito, è lecita solo quando l'elemento di cui si deve calcolare la norma appartiene a $ mathbb(Q) $.
Dove sbaglio?
Grazie!
avrei bisogno di un chiarimento sul calcolo della norma in un campo di numeri. Mostro subito un esempio per essere più chiaro.
Sia $ K = mathbb(Q) (zeta_9) $, dove $ zeta_9 $ è la radice ciclotomica nona; chiaramente $ mathbb(Q) sube K $ è un'estensione di campi di numeri. Devo calcolare la norma dell'elemento $ 1+2 zeta_9 ^3 $ (uguale a $ 1+2zeta_3 $), che appartiene a K ma non a $ mathbb(Q) $.
Il mio ragionamento è il seguente: so che la norma di un elemento è (eventualmente a meno del segno) il termine noto del polinomio minimo di quell'elemento su $ mathbb(Q) $. Essendo $ 1+2zeta_3 = sqrt(-3) $, il polinomio minimo di questo elemento su $ mathbb(Q) $ è $ X^2 + 3 $, quindi (tenendo presente che l'estensione ha grado 6) la norma di $ 1+2zeta_3 $ è $ (-1)^6 cdot 3 = 3 $.
Nella soluzione proposta dal professore, invece, si legge: poiché $ 1+2zeta_3 = sqrt(-3) $, la norma di $ 1+2zeta_3 $ vale $ 3^3 $, quasi come se elevasse alla sesta (a parte il segno) $ sqrt(-3) $... ma questa operazione più veloce, se ho ben capito, è lecita solo quando l'elemento di cui si deve calcolare la norma appartiene a $ mathbb(Q) $.
Dove sbaglio?
Grazie!
Risposte
Qual è la tua definizione di norma?
La norma di [tex]x \in K[/tex] in [tex]K/\mathbb{Q}[/tex] è il determinante dell'operatore [tex]\mathbb{Q}[/tex]-lineare [tex]K \to K[/tex] dato dalla moltiplicazione per [tex]x[/tex]. La norma in [tex]K/\mathbb{Q}[/tex] di [tex]x \in K[/tex] risulta uguale al prodotto delle radici del polinomio minimo di [tex]x[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] (che è uguale al termine noto del polinomio minimo a meno del segno) elevato al grado [tex]|K:\mathbb{Q}(x)|[/tex] (che nel tuo caso è [tex]3[/tex]).
Un altro modo di definire la norma è questo: data un'estensione finita separabile [tex]E/F[/tex], e [tex]x \in E[/tex], la norma di [tex]x[/tex] è [tex]N_{E/F}(x) := \prod_i \sigma_i(x)[/tex] dove i [tex]\sigma_i[/tex] sono i [tex]F[/tex]-omomorfismi iniettivi di [tex]E[/tex] dentro una chiusura algebrica di [tex]E[/tex] (se [tex]E[/tex] è [tex]F[/tex]-stabile, cioè [tex]E/F[/tex] è di Galois, si tratta degli [tex]F[/tex]-automorfismi [tex]E \to E[/tex]).
La norma di [tex]x \in K[/tex] in [tex]K/\mathbb{Q}[/tex] è il determinante dell'operatore [tex]\mathbb{Q}[/tex]-lineare [tex]K \to K[/tex] dato dalla moltiplicazione per [tex]x[/tex]. La norma in [tex]K/\mathbb{Q}[/tex] di [tex]x \in K[/tex] risulta uguale al prodotto delle radici del polinomio minimo di [tex]x[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] (che è uguale al termine noto del polinomio minimo a meno del segno) elevato al grado [tex]|K:\mathbb{Q}(x)|[/tex] (che nel tuo caso è [tex]3[/tex]).
Un altro modo di definire la norma è questo: data un'estensione finita separabile [tex]E/F[/tex], e [tex]x \in E[/tex], la norma di [tex]x[/tex] è [tex]N_{E/F}(x) := \prod_i \sigma_i(x)[/tex] dove i [tex]\sigma_i[/tex] sono i [tex]F[/tex]-omomorfismi iniettivi di [tex]E[/tex] dentro una chiusura algebrica di [tex]E[/tex] (se [tex]E[/tex] è [tex]F[/tex]-stabile, cioè [tex]E/F[/tex] è di Galois, si tratta degli [tex]F[/tex]-automorfismi [tex]E \to E[/tex]).
Noi abbiamo definito la norma nel secondo modo... non capisco bene perché risulti $ [K:mathbb(Q)(x)] = 3 $ . Credo di non aver mai visto un'estensione di campi fatta così! C'è da dire però che con la tua prima definizione la norma risulta proprio $ 3^3 $.
O meglio, forse ora ho trovato l'errore. Il mio ragionamento sarebbe valido se il polinomio minimo fosse uguale al polinomio caratteristico, cosa che avviene se e solo se siamo in presenza di un'estensione semplice. Nel mio caso il grado dell'estensione è 6, quindi il polinomio caratteristico (comunque multiplo del polinomio minimo) avrà grado 6! (6, non 6 fattoriale
)
Dico bene?
O meglio, forse ora ho trovato l'errore. Il mio ragionamento sarebbe valido se il polinomio minimo fosse uguale al polinomio caratteristico, cosa che avviene se e solo se siamo in presenza di un'estensione semplice. Nel mio caso il grado dell'estensione è 6, quindi il polinomio caratteristico (comunque multiplo del polinomio minimo) avrà grado 6! (6, non 6 fattoriale
)Dico bene?
Quel grado è 3 per la formula dei gradi, infatti [tex]|K:\mathbb{Q}| = \varphi(9) = 6[/tex], [tex]|\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}|=2[/tex] essendo [tex]x= i \sqrt{3}[/tex] e quindi
[tex]6 = |K:\mathbb{Q}| = |K:\mathbb{Q}(x)| \cdot |\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}| = |K:\mathbb{Q}(x)| \cdot 2[/tex]
cioè [tex]|K:\mathbb{Q}(x)| = 3[/tex].
Se per "polinomio caratteristico di [tex]x[/tex]" intendi il polinomio caratteristico dell'operatore [tex]\mathbb{Q}[/tex]-lineare [tex]K \to K[/tex] dato dalla moltiplicazione per [tex]x[/tex] allora sì, il suo grado è [tex]6[/tex]. Certamente un "elemento primitivo" (cioè un elemento che genera da solo l'intera estensione) ha pol minimo = pol caratteristico ma nel tuo caso [tex]x[/tex] non è primitivo (ha grado 2, non 6).
[tex]6 = |K:\mathbb{Q}| = |K:\mathbb{Q}(x)| \cdot |\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}| = |K:\mathbb{Q}(x)| \cdot 2[/tex]
cioè [tex]|K:\mathbb{Q}(x)| = 3[/tex].
Se per "polinomio caratteristico di [tex]x[/tex]" intendi il polinomio caratteristico dell'operatore [tex]\mathbb{Q}[/tex]-lineare [tex]K \to K[/tex] dato dalla moltiplicazione per [tex]x[/tex] allora sì, il suo grado è [tex]6[/tex]. Certamente un "elemento primitivo" (cioè un elemento che genera da solo l'intera estensione) ha pol minimo = pol caratteristico ma nel tuo caso [tex]x[/tex] non è primitivo (ha grado 2, non 6).
Giusto giusto, ora torna tutto!
Grazie per la tua disponibilità, mi hai risolto un bel dubbio
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Prego
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