Calcolo del segno di una permutazione
Si consideri la permutazione $\tau\in S_{p+q}$ che opera nel seguente modo:
$$\tau(1)=p+1, \tau(2)=p+2,\ldots,\tau(q)=p+q$$
$$\tau(q+1)=1, \tau(q+2)=2,\ldots,\tau(q+p)=p$$
Nei testi da cui sto studiando viene dato per scontato che il segno di tal permutazione è $(-1)^{pq}$.
La mia domanda è: c'è un modo abbastanza veloce per dimostrarlo senza considerare necessariamente i 3 casi distinti $pq$?
$$\tau(1)=p+1, \tau(2)=p+2,\ldots,\tau(q)=p+q$$
$$\tau(q+1)=1, \tau(q+2)=2,\ldots,\tau(q+p)=p$$
Nei testi da cui sto studiando viene dato per scontato che il segno di tal permutazione è $(-1)^{pq}$.
La mia domanda è: c'è un modo abbastanza veloce per dimostrarlo senza considerare necessariamente i 3 casi distinti $p
Risposte
Invece di spostare il blocco $\{1,2,\ldots,q\}$ in un colpo "a destra”, si potrebbe
anche procedere a $p$ passi piccoli, dove un passo piccolo e’ uno spostamento
di distanza $1$.
Poiche’ ogni passo piccolo e’ un $(q+1)$-ciclo ed ha quindi segno $(-1)^q$,
il segno della tua permutazione e’ la $p$-esima potenza di $(-1)^q$.
anche procedere a $p$ passi piccoli, dove un passo piccolo e’ uno spostamento
di distanza $1$.
Poiche’ ogni passo piccolo e’ un $(q+1)$-ciclo ed ha quindi segno $(-1)^q$,
il segno della tua permutazione e’ la $p$-esima potenza di $(-1)^q$.
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