Calcolo del polinomio minimo
Salve a tutti, ho le idee un po confuse riguardo al trovare i polinomi minimi.
Ad esempio, data $ \xi$ radice ventiseiesima primitiva dell'unità, devo determinare il grado del polinomio minimo di $ \xi + \xi^{-1}$ su $QQ$.
Allora so che la funzione di Eulero $\varphi (26)=12$, quindi $[QQ ( \xi): QQ]=12$, e, se non sbaglio, $ \xi + \xi ^{-1}$ ha grado $6$ su $QQ$; quindi, posto $ \alpha = \xi + \xi^{-1}$, facendo le potenze successive mi ricavo $\alpha^{6} = \xi^{6}+15( \xi^{2}+ \xi^{-2}+2) -10 +6 \xi^{4}+6 \xi^{-4} + \xi^{-6}$, dove $\xi^{2}+ \xi^{-2}+2 = \alpha ^{2}$. Ora so che dovrei sfruttare il polinomio minimo di $\xi$ che è il polinomio ciclotomico $\Phi_{26}= x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+...+1=0$ che si annulla in $\xi$, però non ho ben capito come legare bene insieme tutte le cose.
Qualche suggerimento?
Ad esempio, data $ \xi$ radice ventiseiesima primitiva dell'unità, devo determinare il grado del polinomio minimo di $ \xi + \xi^{-1}$ su $QQ$.
Allora so che la funzione di Eulero $\varphi (26)=12$, quindi $[QQ ( \xi): QQ]=12$, e, se non sbaglio, $ \xi + \xi ^{-1}$ ha grado $6$ su $QQ$; quindi, posto $ \alpha = \xi + \xi^{-1}$, facendo le potenze successive mi ricavo $\alpha^{6} = \xi^{6}+15( \xi^{2}+ \xi^{-2}+2) -10 +6 \xi^{4}+6 \xi^{-4} + \xi^{-6}$, dove $\xi^{2}+ \xi^{-2}+2 = \alpha ^{2}$. Ora so che dovrei sfruttare il polinomio minimo di $\xi$ che è il polinomio ciclotomico $\Phi_{26}= x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+...+1=0$ che si annulla in $\xi$, però non ho ben capito come legare bene insieme tutte le cose.
Qualche suggerimento?
Risposte
Prova così:
$6\xi^4+6\xi^{-4}=6(\alpha^2-2)^2-12$
$\xi^6+\xi^{-6}=(\xi^2+\xi^{-2})(\xi^4+\xi^{-4}-1)=(\alpha^2-2)[(\alpha^2-2)^2-3]$
dunque andiamo a sostituire e viene
$$(\alpha^2-2)[(\alpha^2-2)^2-3]+15\alpha^2-22+6(\alpha^2-2)^2$$
$6\xi^4+6\xi^{-4}=6(\alpha^2-2)^2-12$
$\xi^6+\xi^{-6}=(\xi^2+\xi^{-2})(\xi^4+\xi^{-4}-1)=(\alpha^2-2)[(\alpha^2-2)^2-3]$
dunque andiamo a sostituire e viene
$$(\alpha^2-2)[(\alpha^2-2)^2-3]+15\alpha^2-22+6(\alpha^2-2)^2$$
Ok ci sono! Non ho abbastanza fantasia per questi esercizi... In ogni caso grazie mille per l'aiuto!
Non è quello il polinomio minimo però...
A questo punto non ho fatto? Il polinomio minimo (calcolato in $x$) non dovrebbe essere
$x^6-(x^2-2)[(x^2-2)^2-3]+15x^2-22+6(x^2-2)^2$ che si annulla in $\xi + \xi^{-1}$. o no??
$x^6-(x^2-2)[(x^2-2)^2-3]+15x^2-22+6(x^2-2)^2$ che si annulla in $\xi + \xi^{-1}$. o no??
Forse l'idea dell'esercizio e' di determinare il grado del polinomio minimo
senza calcolare il polinomio minimo stesso.
Sia $F=QQ(\xi)$. Allora $[F]=\phi(26)=12$. Sia $\tau=\xi+\xi^{-1}$ e sia $K$ il sottocampo $QQ(\tau)$ di $F$.
Allora il grado $d$ del polinomio minimo (su $QQ$) di $\tau$ e’ uguale al grado $[K]$.
Poiche’ $xi$ `e uno zero del polinomio $X^2-\tau X +1$, si ha che $[F]\le 2$.
Per vedere che $[F]=2$, consideriamo l’omomorfismo di campi
$j:K\rightarrow CC$ dato da $j(\xi)=\exp(2\pi//26)$.
Allora $j(\tau)=j(xi+\xi^{-1})$ e’ uguale al numero reale $2\cos(2\pi//26)$.
Questo implica che $j$ manda $K$ in un sottocampo di $RR$.
Poiche' $j$ non manda $F$ in un sottocampo di $RR$, abbiamo che $F!=K$.
Ne segue che $[F]!=1$ e quindi $[F]=2$.
Abbiamo quindi che $d=[K]=[F]//[F]=12//2=6$.
senza calcolare il polinomio minimo stesso.
Sia $F=QQ(\xi)$. Allora $[F]=\phi(26)=12$. Sia $\tau=\xi+\xi^{-1}$ e sia $K$ il sottocampo $QQ(\tau)$ di $F$.
Allora il grado $d$ del polinomio minimo (su $QQ$) di $\tau$ e’ uguale al grado $[K]$.
Poiche’ $xi$ `e uno zero del polinomio $X^2-\tau X +1$, si ha che $[F]\le 2$.
Per vedere che $[F]=2$, consideriamo l’omomorfismo di campi
$j:K\rightarrow CC$ dato da $j(\xi)=\exp(2\pi//26)$.
Allora $j(\tau)=j(xi+\xi^{-1})$ e’ uguale al numero reale $2\cos(2\pi//26)$.
Questo implica che $j$ manda $K$ in un sottocampo di $RR$.
Poiche' $j$ non manda $F$ in un sottocampo di $RR$, abbiamo che $F!=K$.
Ne segue che $[F]!=1$ e quindi $[F]=2$.
Abbiamo quindi che $d=[K]=[F]//[F]=12//2=6$.
Sì, al fatto che il polinomio minimo abbia grado $6$ ci ero arrivato in un'altra maniera, esplicitando la corrispondenza di Galois per $QQ (\xi)$ e osservando che il gruppo che fissa $\xi + \xi^{-1}$ ha grado $2$ e quindi indice $6$, quindi il corrispettivo campo fisso doveva avere grado $6$ su $QQ$; il problema era scrivere in maniera esplicita il polinomio minimo dell'elemento $\xi + \xi^{-1}$
Ah, ok.
Il polinomio qua sopra non e’ corretto. Ha grado $4$ invece di $6$.
Il polinomio minimo e’ $x^6-x^5-5x^4+4x^3+6x^2+3x-1$.
Se vuoi calcolarlo a mano, dividi la relazione $\Phi_{26}(\xi)=\xi^12 -\xi^11 +\ldots-\xi +1=0$
per $\xi^6$ e ottieni una relazione simmetrica del tipo $\xi^6 -\xi^5 +\ldots -\xi^{-5} +\xi^{-6}=0$.
Se adesso sottrai $(\xi +\xi^{-1})^6 = \xi^6 +6\xi^4 + …+6\xi^{-4} +\xi^{-6}$,
ottieni un’espressione simile, ma con esponenti fra $-5$ e $5$.
Se poi sottrai $-1$ per $(\xi +\xi^{-1})^5 = \xi^5 +5\xi^3 + …+5\xi^{-3} +\xi^5$
ottieni un’espressione simile con esponenti fra $-4$ e $4$. $\ldots$ ecc.
Ogni volta va sottrato $a_i(\xi +\xi^{-1})^i$ per qualche coefficiente opportuno $a_i\in ZZ$.
Alla fine avrai trovato che $\sum_{i=0}^6a_i(\xi +\xi^{-1})^i=0$ e il polinomio minimo e’ quindi $\sum_{i=0}^6a_iX^i$.
Il polinomio qua sopra non e’ corretto. Ha grado $4$ invece di $6$.
Il polinomio minimo e’ $x^6-x^5-5x^4+4x^3+6x^2+3x-1$.
Se vuoi calcolarlo a mano, dividi la relazione $\Phi_{26}(\xi)=\xi^12 -\xi^11 +\ldots-\xi +1=0$
per $\xi^6$ e ottieni una relazione simmetrica del tipo $\xi^6 -\xi^5 +\ldots -\xi^{-5} +\xi^{-6}=0$.
Se adesso sottrai $(\xi +\xi^{-1})^6 = \xi^6 +6\xi^4 + …+6\xi^{-4} +\xi^{-6}$,
ottieni un’espressione simile, ma con esponenti fra $-5$ e $5$.
Se poi sottrai $-1$ per $(\xi +\xi^{-1})^5 = \xi^5 +5\xi^3 + …+5\xi^{-3} +\xi^5$
ottieni un’espressione simile con esponenti fra $-4$ e $4$. $\ldots$ ecc.
Ogni volta va sottrato $a_i(\xi +\xi^{-1})^i$ per qualche coefficiente opportuno $a_i\in ZZ$.
Alla fine avrai trovato che $\sum_{i=0}^6a_i(\xi +\xi^{-1})^i=0$ e il polinomio minimo e’ quindi $\sum_{i=0}^6a_iX^i$.
Perfetto era questo passaggio che mi mancava!! Grazie mille per il tuo tempo!
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