Calcolo dei sottogruppi di un prodotto ZxZ
Ciao ragazzi, scusate se mi rivolgo a voi e al vostro tempo, ma sto impazzendo dietro un esercizio.
In sostanza, abbiamo questo caso:
G=$Z_2$x$Z_3$ con legge di composizione interna additiva.
Allora:
$Z_2$={0,1}
$Z_3$={0,1,2}
E il nostro G={(0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)}
Giusto? Ovvero la prima coordinata appartiene a $Z_2$ e fa coppia con ciascun elemento di $Z_3$.
Come sappiamo, l'ordine dei sottogruppi può solo essere un divisore della cardinalità di G. Siccome |G| = 6 allora i sottogruppi possono essere formati da 1 elemento (elemento neutro (0,0) ) ; da 2; da 3; da 4 o da 6 (che sarebbe tutto G).
Perfetto... ora è qui che iniziano i miei casini di logica.
Per determinare i sottogruppi noi usiamo effettuare il calcolo degli elementi e vedere cosa questi vanno a generare.
In sostanza parto dalla prima coppia non nulla:
<(0,1)>={ .... }
E mi calcolo cosa genera. Ma ecco il mio problema: con che criterio? Cioè con i ragazzi con cui parlo di questa cosa escono diverse "teorie", vorrei sapere da persone esperte cosa dovrei fare.
Alcuni dicono che la prima coordinata si calcola moltiplicando gli elementi di $Z_2$ e l'altra resta fissa, poi la seconda si calcola con gli elementi di $Z_3$.
Cioè:
<(0,1)>= { (0*0,1) (0*1,1) (0,1*0) (0,1*1) (0,1*2) } // Non so se è chiaro, praticamente nei primi 2 resta fissa la seconda coordinata, negli altri 3 resta fissa la prima
Però penso sia un errore, perchè in questo caso non ci potrebbe mai essere un generatore di G, in quanto operando in questo modo potrei avere al più 5 elementi (2 dalla moltiplicazione della prima coordinata, 3 dalla seconda, senza contare eventuali "doppi").
Inoltre nel caso delle coordinate entrambe non nulle non mi esce l'elemento neutro.
Esempio:
<(1,2)>= { (1*0,2) (1*1,2) (1,2*0) (1,2*1) (1,2*2) }
Qualcuno riesce a spiegarmi il criterio esatto per determinare gli elementi generati?
Grazie in anticipo, e chiaramente buon anno a tutti
In sostanza, abbiamo questo caso:
G=$Z_2$x$Z_3$ con legge di composizione interna additiva.
Allora:
$Z_2$={0,1}
$Z_3$={0,1,2}
E il nostro G={(0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)}
Giusto? Ovvero la prima coordinata appartiene a $Z_2$ e fa coppia con ciascun elemento di $Z_3$.
Come sappiamo, l'ordine dei sottogruppi può solo essere un divisore della cardinalità di G. Siccome |G| = 6 allora i sottogruppi possono essere formati da 1 elemento (elemento neutro (0,0) ) ; da 2; da 3; da 4 o da 6 (che sarebbe tutto G).
Perfetto... ora è qui che iniziano i miei casini di logica.
Per determinare i sottogruppi noi usiamo effettuare il calcolo degli elementi e vedere cosa questi vanno a generare.
In sostanza parto dalla prima coppia non nulla:
<(0,1)>={ .... }
E mi calcolo cosa genera. Ma ecco il mio problema: con che criterio? Cioè con i ragazzi con cui parlo di questa cosa escono diverse "teorie", vorrei sapere da persone esperte cosa dovrei fare.
Alcuni dicono che la prima coordinata si calcola moltiplicando gli elementi di $Z_2$ e l'altra resta fissa, poi la seconda si calcola con gli elementi di $Z_3$.
Cioè:
<(0,1)>= { (0*0,1) (0*1,1) (0,1*0) (0,1*1) (0,1*2) } // Non so se è chiaro, praticamente nei primi 2 resta fissa la seconda coordinata, negli altri 3 resta fissa la prima
Però penso sia un errore, perchè in questo caso non ci potrebbe mai essere un generatore di G, in quanto operando in questo modo potrei avere al più 5 elementi (2 dalla moltiplicazione della prima coordinata, 3 dalla seconda, senza contare eventuali "doppi").
Inoltre nel caso delle coordinate entrambe non nulle non mi esce l'elemento neutro.
Esempio:
<(1,2)>= { (1*0,2) (1*1,2) (1,2*0) (1,2*1) (1,2*2) }
Qualcuno riesce a spiegarmi il criterio esatto per determinare gli elementi generati?
Grazie in anticipo, e chiaramente buon anno a tutti
Risposte
i sottogruppi possono essere formati da 1 elemento (elemento neutro (0,0) ) ; da 2; da 3; da 4 o da 6
4 non è un divisore di 6, quindi rimangono solo gli ordini 2 e 3
Se con $ G= Z_2 xx Z_3 $ intendi il "prodotto diretto" allora $ (a,b) xx (c,d) = (a+d,c+d) $ essendo $ + $ la somma in $ Z_2 $ e $ Z_3 $ . Per esempio $ (1,2) xx (1,2) = (1+1,2+2)=(0,1) $ Qundi $ <(1,2)> = { (1,2), (0,1), (1,0), (0,2), (1,1), (0,0) } $ è un generatore di $ G $ che pertanto è ciclico ed isomorfo a $ Z_6 $ Ricorda che un gruppo ciclico possiede un unico sottogruppo per ogni divisore del suo ordine pertanto ci sono un unico sottogruppo di ordine 2 (di cui un generatore è (1,0)) e un unico sottogruppo di ordine 3 (generato da (0,1)) Ricorda anche questo altro fatto molto utile:
Il prodotto diretto di due gruppi ciclici che hanno ordini coprimi è ciclico. Quindi per esempio $ Z_4 xx Z_9 $ è isomorfo a $ Z_36 $
Ciao.
Grazie per la risposta però non mi hai detto il criterio con cui riesci a ricavarti <(1,2)>.
Cioè dopo il "quindi" mi sono perso. Come fai a ricavarti quell'insieme generato da (1,2)?
Cioè dopo il "quindi" mi sono perso. Come fai a ricavarti quell'insieme generato da (1,2)?
Continua a moltiplicare per (1,2) finche non ti viene (0,0) xD
Dunque il metodo è:
1. Inserisco l'elemento analizzato
2. Moltiplico l'elemento per sè stesso e inserisco il risultato
3. Moltiplico il risultato per l'elemento
4. Ripeto 3 finchè non arrivo all'elemento neutro
E' corretto?
1. Inserisco l'elemento analizzato
2. Moltiplico l'elemento per sè stesso e inserisco il risultato
3. Moltiplico il risultato per l'elemento
4. Ripeto 3 finchè non arrivo all'elemento neutro
E' corretto?
Corretto. Infatti, come tu sicuramente già sai dallo studio della teoria, se $ G $ è un gruppo finito e $ x \in G $ un suo elemento allora il il sottogruppo generato da $ x $ è l'insieme di tutte le potenze di $ x $ ovvero \(\displaystyle \langle x \rangle = {{ x,x^2,x^3 ... }} \) e questo insieme è finito perchè è un sottinsieme di G e deve contenere l'elemento neutro in quanto è un sottogruppo. Ecco perchè iterando il procedimento da te descritto prima o poi si arriva all'elemento neutro.
Scusa se ritorno a parlare dell'argomento, però ho un dilemma su un altro esercizio simile.
E' solo una conferma (se tutto va bene
) che dovresti darmi:
Io ho G=$Z_3$x$Z_5*$ con legge di composizione interna: (A , B) * ( C, D) = ( A + C, B*D)
$Z_3$ = {0,1,2}
$Z_5$ = {1,2,3,4}
Suppongo che l'elemento neutro sia (0,1).
Se applico la formula a (0,2) ottengo:
(0,2) * (0,1) = (0,2)
(0,2) * (0,2) = (0,4)
(0,4) * (0,2) = (0,8) ---> questo in Z5* come lo leggo? Come (0,3)?
(0,3) * (0,2) = (0,16) --> (0,1)?
Teoricamente è giusto perchè trovato l'elemento neutro, se continuo ricomincio il ciclo:
(0,1) * (0,2) = (0,2)
.....
Ho una domanda però: quando esiste un Zn privato dello zero, non si corre mai il rischio che arrivi un elemento * un elemento che dia risultato zero? Al caso minore darà 1, giusto?
E' solo una conferma (se tutto va bene
) che dovresti darmi:Io ho G=$Z_3$x$Z_5*$ con legge di composizione interna: (A , B) * ( C, D) = ( A + C, B*D)
$Z_3$ = {0,1,2}
$Z_5$ = {1,2,3,4}
Suppongo che l'elemento neutro sia (0,1).
Se applico la formula a (0,2) ottengo:
(0,2) * (0,1) = (0,2)
(0,2) * (0,2) = (0,4)
(0,4) * (0,2) = (0,8) ---> questo in Z5* come lo leggo? Come (0,3)?
(0,3) * (0,2) = (0,16) --> (0,1)?
Teoricamente è giusto perchè trovato l'elemento neutro, se continuo ricomincio il ciclo:
(0,1) * (0,2) = (0,2)
.....
Ho una domanda però: quando esiste un Zn privato dello zero, non si corre mai il rischio che arrivi un elemento * un elemento che dia risultato zero? Al caso minore darà 1, giusto?
G=Z3xZ5⋅ con legge di composizione interna: (A , B) * ( C, D) = ( A + C, B*D)
Con questa operazione $ G $ non è un gruppo, infatti per esempio gli elementi (1,0), (2,0) e (3,0) non sono invertibili. Diventa un gruppo se togli lo zero da $ Z_5 $ così $ G=Z_3 xx (Z_5 - {0}) $
Ho una domanda però: quando esiste un Zn privato dello zero, non si corre mai il rischio che arrivi un elemento * un elemento che dia risultato zero? Al caso minore darà 1, giusto?
No, per esempio nel semigruppo unitario $ (Z_6, xx) $ si ha che $ 2 xx 3 = 0 $
E in quel caso come si procede visto che lo zero non appartiene al gruppo?
PS: si infatti è privato dello zero Z5,avevo messo l'asterisco ma è diventato un puntino per via del formulario.
EDIT: un'altra domanda:
se la legge di comp. interna fosse stata (a+c,b+d) seguendo solo la seconda coordinata si avrebbe un caso 2+3=5=0
ma zero non appartiene a Z5*. In questo caso significa che la legge di composizione interna è sbagliata o che G non è un gruppo?
PS: si infatti è privato dello zero Z5,avevo messo l'asterisco ma è diventato un puntino per via del formulario.
EDIT: un'altra domanda:
se la legge di comp. interna fosse stata (a+c,b+d) seguendo solo la seconda coordinata si avrebbe un caso 2+3=5=0
ma zero non appartiene a Z5*. In questo caso significa che la legge di composizione interna è sbagliata o che G non è un gruppo?
"Shepard":
E in quel caso come si procede visto che lo zero non appartiene al gruppo?
$ (Z_6,*) $ come ho gia detto non è un gruppo, è un semigruppo unitario (praticamente non tutti gli elementi hanno gli inversi) e nota che non ho tolto lo $ 0 $ (se lo avessi fatto la moltiplicazione non sarebbe un'operazione interna e quindi non staremmo neanche parlando di una struttura algebrica), in generale $ (Z_n,*) $ non è un gruppo (perchè mancano gli inversi). Tuttavia se indichiamo con $ U(Z_n) $ l'insieme degli elementi invertibili di $ Z_n $ allora $ (U(Z_n),*) $ è un gruppo. In particolare se $ n $ è un numero primo (e solo in quel caso) tutti gli elementi non nulli di $ Z_n $ sono invertibili e quindi $ (Z_n-{0},*) $ è un gruppo. Sono tutte cose che puoi trovare in un qualsiasi testo di algebra (ma anche se fai una bella ricerca su internet magari trovi gli appunti di qualche prof. ) Buono studio.
se la legge di comp. interna fosse stata (a+c,b+d) seguendo solo la seconda coordinata si avrebbe un caso 2+3=5=0
Se vuoi cambiare la legge di composizione allora rimetti di nuovo lo zero dentro a $ Z_5 $ e sei apposto. Non è scritto da nessuna parte che lo stesso insieme deve essere un gruppo rispetto a qualsiasi operazione. Per esempio $ Z $ con l'addizione è un gruppo e con la moltiplicazione no. Niente di strano.
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