Calcolo congruenza modulo 7
Ciao a tutti! Avrei bisogno di un aiuto per questo esercizio:
Si consideri la congruenza modulo 7.
a) A quale classe di resto appartiene il numero a= 3*10^5?
b) quale resto nella divisione per 7 deve avere il numero x Є Z affinché il numero 3x + a, diviso per 7, abbia resto 2?
Il primo punto credo di essere riuscita a farlo, mi è uscito che a ≡ 4 mod 7. La seconda parte dell'esercizio invece non so proprio come cominciarla... C'è qualcuno che sia disponibile per aiutarmi?
Ringrazio in anticipo!
Si consideri la congruenza modulo 7.
a) A quale classe di resto appartiene il numero a= 3*10^5?
b) quale resto nella divisione per 7 deve avere il numero x Є Z affinché il numero 3x + a, diviso per 7, abbia resto 2?
Il primo punto credo di essere riuscita a farlo, mi è uscito che a ≡ 4 mod 7. La seconda parte dell'esercizio invece non so proprio come cominciarla... C'è qualcuno che sia disponibile per aiutarmi?
Ringrazio in anticipo!
Risposte
Abbiamo $3x+a=2 mod 7$. In pratica, considerando che $a=4 mod 7$, si ha $3x=-2=5 mod 7$.
Ora prendi tutti i possibili valori di x e moltiplicali per 3.
0---0
1---3
2---6
3---9=2
4---12=5
5---15=1
6---18=4
Come puoi ben vedere, devi avere $x=4$....
...il tutto ammettendo che tu abbia fatto giusto il punto uno...
Ora prendi tutti i possibili valori di x e moltiplicali per 3.
0---0
1---3
2---6
3---9=2
4---12=5
5---15=1
6---18=4
Come puoi ben vedere, devi avere $x=4$....
...il tutto ammettendo che tu abbia fatto giusto il punto uno...
Ho controllato... A me risulta $a=1$... ora dovresti peró aver capito come è il procedimento. Prova a scriverlo qua per esteso e ti diró se hai fatto correttamente.
Ciao.
Ciao.
Innanzitutto ti ringrazio per la risposta!! Sì è vero il primo punto risulta = 1 (avevo sbagliato a moltiplicare le classi di resto). Non ho capito però il passaggio 3x = -2, scusa la mia ignoranza 
Premessa: chiaramente ora i calcoli cambiano perchè uso a=1 e non a=4.
Niente ignoranza, tranquillo. Passo a passo (scrivimi il numero del passaggio che eventualmente non capirai):
1) abbiamo $3x+a=2 mod 7$
2) cioè $3x+1=2 => 3x=1 mod 7$
3) in $ZZ_7$ (cioè le classi di resto nella divisione per 7), ci sono 7 classi: 0,1,2,3,4,5,6.
4) per verificare quale sia la $x$ che soddisfa $3x=1$ proviamo tutti i possibili valori di x (dato che tanto sono solo 7 e facciamo "veloce")
5) ora li provi tutti tu e me li scrivi qua, io ti faccio solo lo zero ed il sei:
$x=0 => 3x=0$
$x=6 => 3x=18=4 mod 7$
... Li provi tutti finchè non trovi il valore di x tale che 3x sia uguale a 1.
Niente ignoranza, tranquillo. Passo a passo (scrivimi il numero del passaggio che eventualmente non capirai):
1) abbiamo $3x+a=2 mod 7$
2) cioè $3x+1=2 => 3x=1 mod 7$
3) in $ZZ_7$ (cioè le classi di resto nella divisione per 7), ci sono 7 classi: 0,1,2,3,4,5,6.
4) per verificare quale sia la $x$ che soddisfa $3x=1$ proviamo tutti i possibili valori di x (dato che tanto sono solo 7 e facciamo "veloce")
5) ora li provi tutti tu e me li scrivi qua, io ti faccio solo lo zero ed il sei:
$x=0 => 3x=0$
$x=6 => 3x=18=4 mod 7$
... Li provi tutti finchè non trovi il valore di x tale che 3x sia uguale a 1.
Perfetto! Tutto chiarissimo!
Allora risulta:
se x = 0 allora 3x = 0
se x = 1 allora 3x = 3
se x = 2 allora 3x = 6
se x = 3 allora 3x = 9 ≡ 2 mod 7
se x = 4 allora 3x = 12 ≡ 5 mod 7
se x = 5 allora 3x = 15 ≡ 1 mod 7
se x = 6 allora 3x = 18 ≡ 4 mod 7
Quindi deve essere x = 5.
GRAZIE MILLE!!
Allora risulta:
se x = 0 allora 3x = 0
se x = 1 allora 3x = 3
se x = 2 allora 3x = 6
se x = 3 allora 3x = 9 ≡ 2 mod 7
se x = 4 allora 3x = 12 ≡ 5 mod 7
se x = 5 allora 3x = 15 ≡ 1 mod 7
se x = 6 allora 3x = 18 ≡ 4 mod 7
Quindi deve essere x = 5.
GRAZIE MILLE!!
perfetto 
ciao
ciao
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