[CALCOLO COMBINATORIO] Cardinalità delle soluzioni di un sistema

[Valentino.gandolfo]

Buongiorno a voi tutti matematici!

Oggi volevo proporvi un esercizio sul calcolo combinatorio.

Trovare la cardinalità dell'insieme delle soluzioni del seguente sistema:

$ { ( x+y+z=12 ),( -1<=x<=2 ),( y>=0 ),(0<= z<=2 ):} $

Vorrei sapere come si arriva all'insieme di soluzioni. So che devo applicare il coefficiente binomiale:
$ (m!)/(h!(m-h)!) $

ma non so dove

[adaBTTLS1]

vedo un po' strano l'uso del coefficiente binomiale in questo caso.
immagino tu intenda solo le soluzioni date da terne ordinate di numeri interi.
tu hai $x in {-1,0,1,2}, z in {0,1,2}$, da cui $y in {8,9,10,11,12,13}$ univocamente determinato da $y=12-(x+z)$, avendo fissato arbitrariamente $x,z$. se è così, la cardinalità dell'insieme delle soluzioni date da tutte le possibili terne $(x,y,z)$ di numeri interi soddisfacenti le condizioni del sistema misto da te scritto è semplicemente $4*3*1=12$.
ciao

[Valentino.gandolfo]

Grazie per la risposta ma il mio dubbio ancora non se né andato.

Considerando l''esercizio del mio libro:

$ { ( x+y+z+h=20 ),( x>=-1 ),( y>0 ),( z>=0 ),( h>3 ):} $

Esso segue la seguente linea di svolgimento:

Il sistema assegnato equivale al seguente

$ { ( x+y+z+h=20 ),( x>=-1 ),( y>=1 ),( z>=0 ),( h>=4 ):} $

Pongo $ a=x+1 $ $ b=y-1 $ $ c=z $ $ d=h-4 $ .
Esso diventa
$ { ( a+b+c+d=16 ),( a>=0 ),( b>=0),( c>=0 ),( d>=0 ):} $

Se con $ S $ denotiamo l'insieme delle sue soluzioni intere, si ha $ |S|=( (16+4-1), (3) ) = (19!)/(3!*16!) $