Calcolo combinatorio

[Carrr1]

Sperando in almeno una risposta da qualcuno, vi volevo chiedere come voi svolgereste questo esercizio su cui io sto sbattendo la testa da alcuni giorni

Si consideri il numero: \(\displaystyle 2^3 3^4 57^2 11^6 = 281253024360 \).

Quanti sono i suoi divisori in \(\displaystyle \mathbb{Z} \)?

Premetto che \(\displaystyle 2^3 3^4 57^2 11^6 \) si può ancora "semplificare" come: \(\displaystyle 2^3 3^6 19^2 11^6\), dato che \(\displaystyle 57 \) è scomponibile come: \(\displaystyle 19 \mathcal{*} 3 \).

Io avevo tentato in questo modo:

è come se ci fossero \(\displaystyle 4 \) insiemi:
- \(\displaystyle 2 \) di cardinalità \(\displaystyle 3 \);
- \(\displaystyle 3 \) di cardinalità \(\displaystyle 6 \);
- \(\displaystyle 19 \) di cardinalità \(\displaystyle 2 \);
- \(\displaystyle 11 \) di cardinalità \(\displaystyle 6 \);

quindi bisogna considerare i divisori che prendono:
- \(\displaystyle 3 \) elementi dall'insieme \(\displaystyle 2 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 6 \) elementi dall'insieme \(\displaystyle 3 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 2 \) elementi dall'insieme \(\displaystyle 19 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 6 \) elementi dall'insieme \(\displaystyle 11 \). (quindi \(\displaystyle 3*6*2*6 \))
- tutte le combinazioni da 3 insiemi su 4, quindi:
1) \(\displaystyle 3 \) elementi dal \(\displaystyle 2 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 3 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 2 \) elementi dal \(\displaystyle 19 \);
2) \(\displaystyle 3 \) elementi dal \(\displaystyle 2 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 3 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 11 \);
3) \(\displaystyle 3 \) elementi dal \(\displaystyle 2 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 2 \) elementi dal \(\displaystyle 19 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 11 \);
4) \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 3 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 2 \) elementi dal \(\displaystyle 19 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 11 \);
- tutte le combianzioni da 2 insiemi su 4, quindi:
- \(\displaystyle 3 \) elementi dal \(\displaystyle 2 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 3 \);
- \(\displaystyle 3 \) elementi dal \(\displaystyle 2 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 2 \) elementi dal \(\displaystyle 19 \)
- \(\displaystyle 3 \) elementi dal \(\displaystyle 2 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 11 \)
- \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 3 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 2 \) elementi dal \(\displaystyle 19 \)
- \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 3 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 11 \)
- \(\displaystyle 2 \) elementi dal \(\displaystyle 19 \) \(\displaystyle * \) \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 11 \)
- tutte le combinazioni da 1 insieme su 4, quindi:
- \(\displaystyle 3 \) elementi dal \(\displaystyle 2 \);
- \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 3 \);
- \(\displaystyle 2 \) elementi dal \(\displaystyle 19 \);
- \(\displaystyle 6 \) elementi dal \(\displaystyle 11 \).

Di tutti questi prodotti ottenuti, ne faccio la somma, quindi mi esce:
\(\displaystyle 216 + 36 + 108 + 72 + 36 + 18 + 6 + 18 + 12 + 36 + 12 + 3 + 6 + 2 + 6 = 587 \).

questo documentovi farà capire cosa voglio dire:
http://www.scribd.com/doc/150703930/Ese ... mbinatorio

Ora, del risultato ne dovrei essere abbastanza sicuro (anche se non tanto xD), ma la mia richiesta non è tanto quella di sapere se ho fatto bene l'esercizio, quanto quella di sapere grazie al vostro intervento se esistono o meno delle formule che non ho considerato, svolgendo quindi l'esercizio prima ad un livello prettamente teorico, e passando quindi ai numeri e ai calcoli.

[Sk_Anonymous]

Considerando il caso generale \(\displaystyle x = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{n}^{a_{n}} \), i divisori di \(\displaystyle x \) possono contenere da \(\displaystyle 0 \) ad \(\displaystyle a_{i} \) volte ciascuno dei fattori primi (perché divisibili per \(\displaystyle p_{i}^{j}\) con \(\displaystyle 0 \leq j \leq a_{i}\) per ogni \(\displaystyle i \) ), quindi hai che il numero di divisori di \(\displaystyle x \) in \(\displaystyle \mathbb{N} \) è \(\displaystyle (a_{1} + 1)(a_{2} + 1) \cdots (a_{n} + 1) \), mentre in \(\displaystyle \mathbb{Z} \) saranno esattamente il doppio (devi tenere conto del segno).

Nel tuo caso quindi dovrebbero essere \(\displaystyle 2(4 * 5 * 3 * 7) \)

Spero di essere stato abbastanza chiaro

[Carrr1]

"quindi hai che il numero di divisori di \(\displaystyle x \) in \(\displaystyle \mathbb{N} \) è \(\displaystyle (a_{1} + 1)(a_{2} + 1) \cdots (a_{n} + 1) \)"

.... questa implicazione non me la so spiegare: come fai a capire che i divisori di \(\displaystyle x \) in \(\displaystyle \mathbb{N} \) sono \(\displaystyle (a_{1} + 1)(a_{2} + 1) \cdots (a_{n} + 1) \) ?? ... il \(\displaystyle + 1 \) è dovuto al fatto che c'è anche il caso in cui \(\displaystyle p_{i}^j \) ha \(\displaystyle j=0 \) ?? e poi qual è il motivo per cui bisogna moltiplicare gli \(\displaystyle (a_{i} + 1) \) con \(\displaystyle i \in [1, n] \) ?? ... si lo so di non essere una cima in questo tipo di esercizi, ma la parte sul calcolo è l'unica che non riesco mai a capire bene..