Calcolo autovettori
sempre io 
....
Esercizio:
data la matrice $A=((1,0,0),(2,-1,0),(0,0,-1))$ detterminarne gl iautovalori.
La matrice ha 2 autovalori: k=1 con molteplicita' algebrica 1 e k=-1 con molteplicita' algebrica 2.
per vedere se ne ha altri devo studiare il sistema
$Ax = kx$ :
dalla mattrice A ottengo: (dovrebbe essere un sistema ma non so come si fa la parenesi graffa del sistema nel forum)
$x1=kx1$
$2x1-x2=kx2$
$-x3=kx3$
ed ottengo:
$x1=kx1$
$2x1-x2(1+k)=0$
$x3=-kx3$
e poi ?? o forse ho completamente cannato lo svolgimento ?
quando gli autovalori di una amtrice sono evidenti e quando no?
quando si usa (A- kI2)x = 0 (con k autovalore) ? I2 cos'è?
grazie in anticipo !!
....Esercizio:
data la matrice $A=((1,0,0),(2,-1,0),(0,0,-1))$ detterminarne gl iautovalori.
La matrice ha 2 autovalori: k=1 con molteplicita' algebrica 1 e k=-1 con molteplicita' algebrica 2.
per vedere se ne ha altri devo studiare il sistema
$Ax = kx$ :
dalla mattrice A ottengo: (dovrebbe essere un sistema ma non so come si fa la parenesi graffa del sistema nel forum)
$x1=kx1$
$2x1-x2=kx2$
$-x3=kx3$
ed ottengo:
$x1=kx1$
$2x1-x2(1+k)=0$
$x3=-kx3$
e poi ?? o forse ho completamente cannato lo svolgimento ?
quando gli autovalori di una amtrice sono evidenti e quando no?
quando si usa (A- kI2)x = 0 (con k autovalore) ? I2 cos'è?
grazie in anticipo !!
Risposte
"BoG":
data la matrice $A=((1,0,0),(2,-1,0),(0,0,-1))$ detterminarne gl iautovalori.
La matrice ha 2 autovalori: k=1 con molteplicita' algebrica 1 e k=-1 con molteplicita' algebrica 2.
per vedere se ne ha altri devo studiare il sistema
Nel campo $\mathbb C$ dei numeri complessi una matrice quadrata di ordine $n$ ha $n$ autovalori, contando le molteplicità; in $\mathbb R$ ne ha al più $n$, sempre contandoli con le loro molteplicità. Se la matrice $A$ ammette $k = 1$ e $k=-1$ doppio, non ne ha altri.
"BoG":
$Ax = kx$ :
dalla mattrice A ottengo: (dovrebbe essere un sistema ma non so come si fa la parenesi graffa del sistema nel forum)
$x1=kx1$
$2x1-x2=kx2$
$-x3=kx3$
OK, un auovettore è uno scalare $k$ tale che esiste un autovettore $x$ tale che $Ax= k x$ e gli autovettori di un autovalore formano un sottospazio vettoriale. Risolvendo il sistema, parametrico, otterresti gli autovalori $k$ e i relativi autospazi. Ma ti sconsiglio di risolvere il sistema.
Io farei così. Per prima cosa, determino gli autovalori risolvendo l'equazione nell'incognita $k$:
$det((1-k,0,0),(2,-1-k,0),(0,0,-1-k)) = (1-k)(-1-k)(-1-k)=0$
ottenendo $k=1$ e $k=-1$ doppio. Essendo radici di un polinomio di terzo grado sono al più tre.
Poi determino gli autospazi con il sistema ma sostituendo i valori di $k$:
Quando $k=1$, il sistema diventa
$x1= x1$
$2x1-x2= x2$
$-x3= 1 x3$
che ha come soluzione l'autospazio generato da $(1,1,0)$
Quando $k= - 1$, il sistema diventa....
"BoG":
quando gli autovalori di una amtrice sono evidenti e quando no?
In questo caso sono evidenti. Dalla seconda colonna vedi che $(0,1,0)$ è un autovettore di $k=-1$ poiché
$A((0),(1),(0)) = - ((0),(1),(0))$
Dalla terza colonna vedi che ....
"BoG":
quando si usa (A- kI2)x = 0 (con k autovalore) ? I2 cos'è?
Dire che I2 è la matrice identica di ordine 2
$((1,0),(0,1))$
Nel nostro caso serve $I_3$
Da $Ax=kx$ passi a $Ax - k x= 0$, facendo comparire $I_3$, $Ax - k I_3 x =( A- kI_3)x =0 $ che è la forma matriciale del sistema per determinare gli autovettori e autovalori.
"5InGold":
[quote="BoG"]
data la matrice $A=((1,0,0),(2,-1,0),(0,0,-1))$ detterminarne gl iautovalori.
La matrice ha 2 autovalori: k=1 con molteplicita' algebrica 1 e k=-1 con molteplicita' algebrica 2.
per vedere se ne ha altri devo studiare il sistema
Nel campo $\mathbb C$ dei numeri complessi una matrice quadrata di ordine $n$ ha $n$ autovalori, contando le molteplicità; in $\mathbb R$ ne ha al più $n$, sempre contandoli con le loro molteplicità. Se la matrice $A$ ammette $k = 1$ e $k=-1$ doppio, non ne ha altri.
quindi se avessi una matrice come questa sopra ma coll'elemento alle coordinate (3,3) in basso a destra invece che -1 fosse 0 allroa avrei 2 autovalori : 1, -1 e poi dovrei vedere se c'è un terzo autovalore?
"BoG":
$Ax = kx$ :
dalla mattrice A ottengo: (dovrebbe essere un sistema ma non so come si fa la parenesi graffa del sistema nel forum)
$x1=kx1$
$2x1-x2=kx2$
$-x3=kx3$
OK, un auovettore è uno scalare $k$ tale che esiste un autovettore $x$ tale che $Ax= k x$ e gli autovettori di un autovalore formano un sottospazio vettoriale. Risolvendo il sistema, parametrico, otterresti gli autovalori $k$ e i relativi autospazi. Ma ti sconsiglio di risolvere il sistema.
Io farei così. Per prima cosa, determino gli autovalori risolvendo l'equazione nell'incognita $k$:
$det((1-k,0,0),(2,-1-k,0),(0,0,-1-k)) = (1-k)(-1-k)(-1-k)=0$
ottenendo $k=1$ e $k=-1$ doppio.
ok.. qua tutto chiaro
Poi determino gli autospazi con il sistema ma sostituendo i valori di $k$:
che difenza c'è tra autovettri e autospazi? un auto spazio è lo spazio generato dagli autovettori?
devo studiare il sistema associato a tutti i autovettori che ho trovato?
Quando $k=1$, il sistema diventa
$x1= x1$
$2x1-x2= x2$
$-x3= 1 x3$
che ha come soluzione l'autospazio generato da $(1,1,0)$
Quando $k= - 1$, il sistema diventa....
"BoG":
quando gli autovalori di una amtrice sono evidenti e quando no?
In questo caso sono evidenti. Dalla seconda colonna vedi che $(0,1,0)$ è un autovettore di $k=-1$ poiché
$A((0),(1),(0)) = - ((0),(1),(0))$
Dalla terza colonna vedi che ....
in alcuni esercizi sulle schede che ho dice "in questa matrice sono evidenti gli autovalori k1, k2" senza spiegare il perchè.
confrontando quell oche hai scritto tu e quell oche ho trovato sulle schede potrei tentare di concludere che individuare un autovalore ad occhio in una matrice si fa così: prendi la matrice, guardi la diagonale e se trovi un vettore con tutti le componenti nulli tranne quello che si trova sulla diagonale della matrice allora quello è un autovalore... giusto?
"BoG":
quando si usa (A- kI2)x = 0 (con k autovalore) ? I2 cos'è?
Dire che I2 è la matrice identica di ordine 2
$((1,0),(0,1))$
Nel nostro caso serve $I_3$
Da $Ax=kx$ passi a $Ax - k x= 0$, facendo comparire $I_3$, $Ax - k I_3 x =( A- kI_3)x =0 $ che è la forma matriciale del sistema per determinare gli autovettori e autovalori.
quindi dovrei fare una roba del genre: prendo la matrice associata al sistema di partenza A, e ci sottrago (elemento per elemento) il prodotto del autovalore k per la matrice identica di ordine n. Questo spiega perchè cambiano solo le componenti della diagonale della matrice A (è una cosa k nn era specificata sulle mie schede, lol).
Se dovessi trovare una base di R3 (visto k la nostra matrice è in R3) formata dai autovettori di A, come potrei fare? visto che in questo esercizio ho 3 vettroi che presentano dei autovalori, questo vuoldire che i 3 vettori sono anche una base formata di autovettori?
[/quote]
Grazie ancora, quello che hai scritto prima è molto chiaro.
PS: ma se prendo una matrice quadrata, con gaus riesco a farla diventare una matrice triangolare superiore, gli elementi che ho sulla diagonale sono gli autovalori?
La matrice $A=((1,0,0),(2,-1,0),(0,0,c))$ ha come autovalori $k=-1$, $k=1$ e $k=c$.
L'autovalore $k=c$ ha autovettore $e_3 = (0,0,1)$. Inoltre tutti i vettori appartenenti al sottospazio generato da $e_3$, cioè i vettori $\lambda(0,0,1) = (0,0,\lambda)$ con $\lambda \in \mathbb R$,sono autovettori.
La $j$-esima colonna di una matrice $M$ è uguale a $M e_j$ dove $e_j$ è il versore della base canonica con le componenti tutte nulle tranne la $j$-esima uguale a $1$. Ecco perché riconosco in una colonna tutta nulla tranne che per l'intersezione con la diagonale un autovalore relativo ad un versore della base canonica. Anche se $c=0$ (il nucleo è l'autospazio relativo all'autovalore $0$..., sperando di non confonderti con questa osservazione).
Posta gli esercizi "evidenti" se non funziona questo trucco
Un autospazio è il sottospazio vettoriale generato dagli autovettori relativi ad un autovalore. Nel tuo esercizio, il sottospazio vettoriale $V_{-1]$ generato da $e_2=(0,1,0)$ e $e_3 = (0,0,1)$ è l'autospazio relativo all'autovalore $k=-1$.
$\forall x \in V_{-1}$, $Ax=-x$. Ad esempio, se $x = 4 e_2 -2 e_3 = (0,4,-2)$
$A ((0),(4),(-2)) = ((0),(-4),(2)) = - ((0),(4),(-2)).
Esatto.
Tu devi risolvere un sistema che in forma matriciale appare così
$A x = kx$
cioè $Ax - kx =0$ e $(A-kI)x=0$
Questo sistema ha soluzioni diverse dalla banale $x=(0,...,0)$ se e solo se il suo determinante $det(A-kI)$ (detto il polinomio caratteristico) è uguale a $0$.
Ecco perché risolvi l'equazione
$det(A-k I)=0$,
determinando i valori di k che rendono uguale a zero il polinomio caratteristico. In corrispondenza di questi valori di $k$ il sistema ammette soluzioni $x$ (gli autovettori) diverse dal vettore nullo.
Per ogni autovalore trovi l'autospazio risolvendo il sistema. Se la molteplicità è maggiore di uno, trovi come soluzione degli autovettori linearmente indipendenti che formano una base dell'autospazio.
Gli autovalori di una matrice triangolare superiore sono gli elementi $d_i$ della diagonale perché facendo il determinante di $A-kI$ e ponendolo uguale a $0$ ottieni
$(k-d_1) \cdot ...\cdot (k-d_n) = 0$
L'autovalore $k=c$ ha autovettore $e_3 = (0,0,1)$. Inoltre tutti i vettori appartenenti al sottospazio generato da $e_3$, cioè i vettori $\lambda(0,0,1) = (0,0,\lambda)$ con $\lambda \in \mathbb R$,sono autovettori.
La $j$-esima colonna di una matrice $M$ è uguale a $M e_j$ dove $e_j$ è il versore della base canonica con le componenti tutte nulle tranne la $j$-esima uguale a $1$. Ecco perché riconosco in una colonna tutta nulla tranne che per l'intersezione con la diagonale un autovalore relativo ad un versore della base canonica. Anche se $c=0$ (il nucleo è l'autospazio relativo all'autovalore $0$..., sperando di non confonderti con questa osservazione).
Posta gli esercizi "evidenti" se non funziona questo trucco
Un autospazio è il sottospazio vettoriale generato dagli autovettori relativi ad un autovalore. Nel tuo esercizio, il sottospazio vettoriale $V_{-1]$ generato da $e_2=(0,1,0)$ e $e_3 = (0,0,1)$ è l'autospazio relativo all'autovalore $k=-1$.
$\forall x \in V_{-1}$, $Ax=-x$. Ad esempio, se $x = 4 e_2 -2 e_3 = (0,4,-2)$
$A ((0),(4),(-2)) = ((0),(-4),(2)) = - ((0),(4),(-2)).
"BoG":
quindi dovrei fare una roba del genre: prendo la matrice associata al sistema di partenza A, e ci sottrago (elemento per elemento) il prodotto del autovalore k per la matrice identica di ordine n. Questo spiega perchè cambiano solo le componenti della diagonale della matrice A (è una cosa k nn era specificata sulle mie schede, lol).
Esatto.
Tu devi risolvere un sistema che in forma matriciale appare così
$A x = kx$
cioè $Ax - kx =0$ e $(A-kI)x=0$
Questo sistema ha soluzioni diverse dalla banale $x=(0,...,0)$ se e solo se il suo determinante $det(A-kI)$ (detto il polinomio caratteristico) è uguale a $0$.
Ecco perché risolvi l'equazione
$det(A-k I)=0$,
determinando i valori di k che rendono uguale a zero il polinomio caratteristico. In corrispondenza di questi valori di $k$ il sistema ammette soluzioni $x$ (gli autovettori) diverse dal vettore nullo.
Per ogni autovalore trovi l'autospazio risolvendo il sistema. Se la molteplicità è maggiore di uno, trovi come soluzione degli autovettori linearmente indipendenti che formano una base dell'autospazio.
Gli autovalori di una matrice triangolare superiore sono gli elementi $d_i$ della diagonale perché facendo il determinante di $A-kI$ e ponendolo uguale a $0$ ottieni
$(k-d_1) \cdot ...\cdot (k-d_n) = 0$
dirrei che ci sono ...
grazie ancora.
grazie ancora.
"BoG":
data la matrice $A=((1,0,0),(2,-1,0),(0,0,-1))$ determinarne gli autovalori.
Semplice: la matrice è triangolare inferiore.
Gli autovalori sono $1$ e $-1$.
scusate, sono un po' alle prime armi...una volta trovati gli autovalori come faccio a trovare gli autovettori?
mi potete spiegare il procedimento?
mi potete spiegare il procedimento?
allora, una volta trovati gli autovalori devi trovare gli auto spazzi... ovvero...
data la matrice: $A=((1,0,0),(2,-1,0),(0,0,-1))$
La matrice ha 2 autovalori: k=1 con molteplicita' algebrica 1 e k=-1 con molteplicita' algebrica 2. (ma questo lo sai fare)
io faccio così:
recupero il sistema della matrice e lo metto prima = primo autovalore, poi al secondo:
in parole povere a $k$ sostituisci prima $-1$ e poi $1"$ e trovi le soluzioni di $x_1, x_2, x_3$, le soluzioni saranno i tuoi autovettori. in questo caso hai 2 autovalori ed avrai 2 autovettori
${(x_1=kx_1),(2x_1-x_2=kx_2),(-x_3=kx_3):}$ diventa quindi:
con $k=-1$:
${(x_1=-1x_1),(2x_1-x_2=-1x_2),(-x_3=-1x_3):}$
con $k=1$:
${(x_1=1x_1),(2x_1-x_2=1x_2),(-x_3=1x_3):}$
spero k la descrizione molto terra - terra ti possa dare qualche spunto
altrimenti qua c'è gente ben preparata k correggera' i miei errori
data la matrice: $A=((1,0,0),(2,-1,0),(0,0,-1))$
La matrice ha 2 autovalori: k=1 con molteplicita' algebrica 1 e k=-1 con molteplicita' algebrica 2. (ma questo lo sai fare)
io faccio così:
recupero il sistema della matrice e lo metto prima = primo autovalore, poi al secondo:
in parole povere a $k$ sostituisci prima $-1$ e poi $1"$ e trovi le soluzioni di $x_1, x_2, x_3$, le soluzioni saranno i tuoi autovettori. in questo caso hai 2 autovalori ed avrai 2 autovettori
${(x_1=kx_1),(2x_1-x_2=kx_2),(-x_3=kx_3):}$ diventa quindi:
con $k=-1$:
${(x_1=-1x_1),(2x_1-x_2=-1x_2),(-x_3=-1x_3):}$
con $k=1$:
${(x_1=1x_1),(2x_1-x_2=1x_2),(-x_3=1x_3):}$
spero k la descrizione molto terra - terra ti possa dare qualche spunto
altrimenti qua c'è gente ben preparata k correggera' i miei errori
ok...già molto più chiaro...
oerò volevo chiedere un altra cosa..
data la matrice
(0 1)
1 0
me ne viene fuori che il polinomio caratteristico è k^2 -1
con atovalori k=1 e k=-1
poi il libro dice:
segue che -x+y=0 e v1=(1/radical2, 1/radical2)
perchè? come ci arriva?
oerò volevo chiedere un altra cosa..
data la matrice
(0 1)
1 0
me ne viene fuori che il polinomio caratteristico è k^2 -1
con atovalori k=1 e k=-1
poi il libro dice:
segue che -x+y=0 e v1=(1/radical2, 1/radical2)
perchè? come ci arriva?
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