Calcolare la classe di $5^283$ in $Z_319$

[thomas.traverso]

Ciao ragazzi ieri ho fatto lo scritto di Elementi di matematica e logica e ho lasciato indietro questo esercizio che, molto probabilmente mi chiederanno all'orale...
Sapete mica dirmi come risolverlo?

Calcolare la classe di $5^283$ in $Z_319$

Perchè sulle dispense non trovo nulla di utile, credo che sia da utilizzare il teorema di Fermat per abbassarsi l'esponente... Però ci ho provato e non riesco...

[Kashaman]

mi sembra alquanto evidente che $(5,319)=1$
Ora, bisogna chiedersi, $319$ è primo oppure è un numero composto?
se è primo allora vale fermat, se non è primo dovresti usare eulero.
prima di tutto vedi se $319$ è un primo.

[thomas.traverso]

319 è multiplo di 29... Quindi come devo fare?

[Kashaman]

scomponi in primi $319$, fattorizzalo, e usa il teorema di eulero.

edit :
se non conosci il teorema di eulero, essendo $319=29*11$
esiste un isomorfismo tra $ZZ_319$ e $ZZ_29\timesZZ_11$ quindi, in base al teorema cinese dei resti..

è equivalente a trovare $x in ZZ$ risolvente il seguente sistema cinese :
$x-=5^283(mod29)$
$x-=5^283(mod11)$

[thomas.traverso]

Allora scompongo in primi $319$ e ottengo

$319 = 29 * 11$

Ora mi calcolo la $\phi(319)$

$\phi(319) = \phi(29) * \phi(11)$

$= (29 * 29^-1) (11 * 11^-1) = 280$

Quindi

$5^283 = 5^280 * 5^3$

Per il teorema di eulero $5^280 -= 1$ e quindi la soluzione dell'esercizio sarebbe ridotta a

$5^3 = 125$

Quindi classe di $5^283$ in $Z_319$ è $= 125$?
E' corretto?

[Kashaman]

yes

[thomas.traverso]

Ok grazie!