Calcolare il numero di funzioni ingettive
Salve, vi sottopongo il seguente esercizio svolto, vorrei sapere se lo svolgimento è corretto ed eventuali metodi di risoluzione alternativi:
Dati gli insiemi $A=\{3,4,5\}$ e $B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, quante sono le funzioni $f:A\rightarrow B$ che soddisfano le seguenti condizioni:
1) $f$ è ingettiva
2) $\forall a \in A \quad f(a)>a $
Svolgimento:
Posto $f(A)=\{x,y,z\}$ con $x \ne y \ne z$ distinguiamo quattro casi:
a) $x,y,z \in \{6,7,8,9\}$
Allora la condizione 2 è soddisfatta in ogni caso e abbiamo $4\cdot 3 \cdot 2 = 24$ terne ordinate senza ripetizione $(x,y,z)$, dunque $24$ funzioni
b) $x=4 \wedge y,z \in \{6,7,8,9\}$
Allora deve essere necessariamente $f(3)=4$ per la condizione 2 e si hanno a disposizione $4\cdot 3=12$ modi di scegliere $y$ e $z$, dunque $12$ funzioni
c) $x=5 \wedge y,z \in \{6,7,8,9\}$
Allora, se $f(3) = 5$, con ragionamento analogo al caso precedente, abbiamo $12$ funzioni, e altrettante se invece $f(4)=5$ per un totale di $24$ funzioni
d) $x=4, y=5 \wedge z \in \{6,7,8,9\}$
Allora deve essere necessariamente $f(3)=4 \wedge f(4)=5$ e abbiamo $4$ possibili scelte per $z$ dunque $4$ funzioni
Pertanto il totale delle funzioni che soddisfano le condizioni date è di $64$.
Dati gli insiemi $A=\{3,4,5\}$ e $B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, quante sono le funzioni $f:A\rightarrow B$ che soddisfano le seguenti condizioni:
1) $f$ è ingettiva
2) $\forall a \in A \quad f(a)>a $
Svolgimento:
Posto $f(A)=\{x,y,z\}$ con $x \ne y \ne z$ distinguiamo quattro casi:
a) $x,y,z \in \{6,7,8,9\}$
Allora la condizione 2 è soddisfatta in ogni caso e abbiamo $4\cdot 3 \cdot 2 = 24$ terne ordinate senza ripetizione $(x,y,z)$, dunque $24$ funzioni
b) $x=4 \wedge y,z \in \{6,7,8,9\}$
Allora deve essere necessariamente $f(3)=4$ per la condizione 2 e si hanno a disposizione $4\cdot 3=12$ modi di scegliere $y$ e $z$, dunque $12$ funzioni
c) $x=5 \wedge y,z \in \{6,7,8,9\}$
Allora, se $f(3) = 5$, con ragionamento analogo al caso precedente, abbiamo $12$ funzioni, e altrettante se invece $f(4)=5$ per un totale di $24$ funzioni
d) $x=4, y=5 \wedge z \in \{6,7,8,9\}$
Allora deve essere necessariamente $f(3)=4 \wedge f(4)=5$ e abbiamo $4$ possibili scelte per $z$ dunque $4$ funzioni
Pertanto il totale delle funzioni che soddisfano le condizioni date è di $64$.
Risposte
"michele_7483":
a) $x,y,z \in \{6,7,8,9\}$
Allora la condizione 2 è soddisfatta in ogni caso e abbiamo $4\cdot 3 \cdot 2 = 24$ terne ordinate senza ripetizione $(x,y,z)$, dunque $24$ funzioni
\(\binom{4}{3}=4\ne 24\).
"hydro":
[quote="michele_7483"]
a) $x,y,z \in \{6,7,8,9\}$
Allora la condizione 2 è soddisfatta in ogni caso e abbiamo $4\cdot 3 \cdot 2 = 24$ terne ordinate senza ripetizione $(x,y,z)$, dunque $24$ funzioni
\(\binom{4}{3}=4\ne 24\).[/quote]
Le combinazioni sono 4 ma ciascuna di esse produce 6 funzioni distinte, ad esempio dalla combinazione $\{6,7,8\}$ si ha:
$f_1=\{(3,6),(4,7),(5,8)\}$
$f_2=\{(3,6),(4,8),(5,7)\}$
$f_3=\{(3,7),(4,6),(5,8)\}$
$f_4=\{(3,7),(4,8),(5,6)\}$
$f_5=\{(3,8),(4,6),(5,7)\}$
$f_6=\{(3,8),(4,7),(5,6)\}$
ah hai ragione, ho letto male io.
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