Calcolare il discriminante di $x^4 +ax +b$

[Gatto891]

Esercizio come da titolo... con un pò di conti si determina che $D(x^3 +ax +b) = -4a^3 -27b^2$, volevo sapere se c'era un modo (intelligente) per calcolare il discriminante di $x^4 +ax +b$ e in caso negativo "come sporcarsele"

[Lord K]

Nel caso del polinomio di 4° grado non comprendo come possa esserci un discriminante... comunque se deriva dalla ricerca delle radici del polinomio, penso che sia da ricercarsi nella marea di conti che portano alla "riduzione" al terzo grado.

Qui o qui trovi quel che ti potrebbe esserwe utile.

[NicoXY1]

Ciao!
E' molto semplice calcolarlo con la formula del discriminante data da [tex]D(x^4+ax+b)=\prod_{i=1}^{4}(4\alpha_i^3+a)[/tex]

Chiamando $gamma=4alpha^3+a$, e sfruttando la relazione $alpha^4=-(aalpha+b)->alpha^3=-a-b/alpha$ si ha che $gamma=-4a-(4b)/alpha+a=-3a-(4b)/alpha->alpha=-4b/(3a+gamma)$

Dalle relazioni precedenti sappiamo che il nostro $f$ di partenza si annulla in $alpha->(-4b/(3a+gamma))^4+a(-4b/(3a+gamma))+b=0$

Facendo un po' di conti troviamo (denominatore comune e semplificando un po' di roba) troviamo che $4^4b^3-4a(3a+gamma)^3+(3a+gamma)^4=0$

Imponendo $gamma=0$ si trova il risultato cercato, cioè $D(x^4+ax+b)=256b^3-27a^4$

[Gatto891]

@Lord K: Il discriminante è definito per polinomi di ogni grado: http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant

@Nico: Thanks ! Ma sei Nicolò?

[Lord K]

"Gatto89":@Lord K: Il discriminante è definito per polinomi di ogni grado: http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant

Grazie per il link, non sapevo dei discriminanti in genere! Da notare comunque la importante biezione tra quei calcoli e quelli di Cardano Ferrari per le risoluzioni dei polinomi di 3° e 4° grado