Calcolare [7]^-1 e [-7] in Z64

[Kvashir]

Ragazzi nuovo quesito,

Un esercizio implica la determinazione di $[7]^-1$ e $[-7]$ in $Z64$

so che $[7]^-1$ indica la classe inversa di $7$ ma $[-7]$? Indica l'opposta?

Calcolando ho determinato che $x$ tramite divisione successiva nell'equazione diofantea $7x+64y=1$ risulta $x=9$, quindi la classe inversa dovrebbe essere $[9]$, corretto? A questo punto l'opposta di $[-7]$ (ammesso appunto che indichi l'opposto) sarebbe $64-9 = [55]$ è corretto?

Grazie mille a tutti!

[Kashaman]

Piccolo hint

Sia $a in ZZ$ invertibile in $ZZ_n$
allora
detta $\phi(n)$ la funzione di eulero, si nota che $a^(\phi(n))=1$ e cioè $aa^(\phi(n)-1)=1$ e quindi
$a^(-1)=a^(phi(n)-1)$

[Kvashir]

ma il mio ragionamento è sbagliato?

[Gi81]

"Kvashir": $[-7]$? Indica l'opposta?

Sì, indica l'opposta.

"Kvashir": A questo punto l'opposta di $[-7]$sarebbe $64-9 = [55]$ è corretto?

No. L'opposta di $[-7]_{64}$ è $[7]_{64}$.

Forse quello che volevi sapere è "A quale classe di equivalenza corrisponde $[-7]_{64}$?"
Dato che $64-7=57$, si ha $[-7]_{64}= [57]_{64}$.

"Kvashir":Calcolando ho determinato che $x$ tramite divisione successiva nell'equazione diofantea $7x+64y=1$ risulta $x=9$, quindi la classe inversa dovrebbe essere $[9]$, corretto?

Sbagliato. Non è $9$ l'inverso di $7$ in $ZZ_{64}$, ma $-9$. Infatti $7*9= 63-= -1 (mod 64)$. Invece $7*(-9)= -63-= 1 (mod 64)$

E dato che $64-9= 55$, possiamo scrivere $[7]_{64}^{-1} = [55]_{64}$

[Kvashir]

ok, qual è la notazione corretta per la classe inversa in questo caso? [9] o [-9]?

Inoltre, l'opposto come viene calcolato?

[Kashaman]

L'opposto può essere calcolato così $[-a]_n=[n-a]_n$
Esempio $[3]_4$ il suo opposto è $[-3]_4=[4-3]_4=[1]_4$ infatti
$[3]_4+[-3]_4=[0]_4=[4]_4=[3+1]_4=[3}_4+[1]_4$

[Kvashir]

grazie, e riguardo l'altra domanda? se x nella diofantea è negativo lo è anche la classe? quindi [-9]?

[la.spina.simone]

"Kvashir":grazie, e riguardo l'altra domanda? se x nella diofantea è negativo lo è anche la classe? quindi [-9]?

$[-9]_(64)=[64-9]_(64)=[55]_(64)$

più ingenerale:
$[q]_n=[kn+q]_n, k\in Z$