Buona definizione della categoria comma

[marco2132k]

\( \newcommand{\cat}[1]{\mathit{#1}} \)Siano \( \cat C \), \( \cat D \) ed \( E \) tre categorie [1], e si considerino due funtori \( F\colon\cat D\to\cat C \), \( G\colon\cat E\to\cat C \).

Definisco \( F\downarrow G \) come la categoria che ha per oggetti le triple \( (d,e,f) \), dove \( d \) ed \( e \) sono rispettivamente un oggetto di \( \cat D \) e un oggetto di \( \cat E \), ed \( f \) è un morfismo \( f\colon Fd\to Ge \) della categoria \( \cat C \); e per morfismi \( (d,e,f)\to(d^\prime,e^\prime,f) \) le coppie \( (h,k) \), dove \( h\colon d\to d^\prime \), e \( k\colon e\to e^\prime \) sono morfismi rispettivamente di \( \cat D \) e di \( \cat E \), tali che

[tex]\xymatrix{Fd\ar[d]_{Fh}\ar[r]^f & Ge\ar[d]^{Gk}\\Fd^\prime\ar[r]_{f^\prime} & Ge^\prime}[/tex]

commuti.

Per me, una categoria è fatta di due collezioni. Affinché la precedente in linguaggio informale definisca una categoria, quindi, occorre che gli homsets \( \hom_{F\downarrow G}((d,e,f),(d^\prime,e^\prime,f^\prime)) \) siano tutti disgiunti.

Se un \( (h,k) \) appartiene a due homsets \( \hom_{F\downarrow G}((d,e,f),(d^\prime,e^\prime,f^\prime)) \) e \( \hom_{F\downarrow G}((p,q,r),(p^\prime,q^\prime,r^\prime)) \), devono valere \( d = p \), \( e = q \) e le rispettive uguaglianze con l'apice; inoltre, i due diagrammi

[tex]\xymatrix{Fd\ar[d]_{Fh}\ar[r]^f & Ge\ar[d]^{Gk}\\Fd^\prime\ar[r]_{f^\prime} & Ge^\prime}\qquad\xymatrix{Fd\ar[d]_{Fh}\ar[r]^r & Ge\ar[d]^{Gk}\\Fd^\prime\ar[r]_{r^\prime} & Ge^\prime}[/tex]

devono commutare. Perché, se lo è, è \( f = r \) e \( f^\prime = r^\prime\)?

[solaàl]

La categoria comma di \(f : A \to C \leftarrow B : g\) è definita come un quadrato riempito da una 2-cella \(\alpha : fp \Rightarrow gq\)

[tex]\xymatrix{
(f/g)\ar[r]^p\ar[d]_q \ar@{}[dr]|{\Downarrow\alpha} & A \ar[d]^f \\
B \ar[r]_g & C
}[/tex]

Ora, questo quadrato soddisfa questa proprietà universale:

1. Dato un diagramma con una 2-cella \(\xi : fa \Rightarrow gb\)

[tex]\xymatrix{
X \ar@/_1pc/[ddr]_b \ar@/^1pc/[drr]^a&& \\
& \ar@{}[dr]{\Downarrow\xi} & A \ar[d]^f\\
& B \ar[r]_g & C
}[/tex]

Esso si rompe in un whiskering

[tex]\xymatrix{
X\ar@{.>}[dr]^u \ar@/_1pc/[ddr]_b \ar@/^1pc/[drr]^a && \\
&(f/g)\ar[r]^p\ar[d]_q \ar@{}[dr]|{\Downarrow\alpha} & A \ar[d]^f \\
& B \ar[r]_g & C
}[/tex]

per un'unica $u$ tale che \(\alpha * u=\xi\) e \(pu=a, qu=b\).

2. Date due 1-celle parallele \(u,u' : X \to (f/g)\) e due 2-celle $\tau_0 : pu \Rightarrow pu'\) e \(\tau_1 : qu \Rightarrow qu'\)

[tex]\xymatrix@!=4mm{
&X\ar[dr]^u\ar[dl]_{u^\prime}\ar@{}[dd]|{\overset{\tau_0}\Leftarrow}& & &X\ar[dr]^u\ar[dl]_{u^\prime}\ar@{}[dd]|{\overset{\tau_1}\Leftarrow}& \\
(f/g)\ar[dr]_p && (f/g)\ar[dl]^p & (f/g)\ar[dr]_q && (f/g)\ar[dl]^q \\
&A& & &B&
}[/tex]

tali che

[tex]\xymatrix@dr{
X \ar[r]^u\ar[d]_{u^\prime}\ar@{}[dr]|{\overset{\tau_0}\Leftarrow}& (f/g)\ar[d]^p\ar[r]_q \ar@{}[dr]|{\overset{\alpha}\Leftarrow} & B\ar[d]^g \\
(f/g) \ar[r]_p& A \ar[r]_f & C
}
\xymatrix@dr{
X \ar@{}[dr]|{\overset{\tau_1}\Leftarrow}\ar[r]^u\ar[d]_{u^\prime}& (f/g) \ar[d]^q\\
(f/g)\ar[d]^p\ar[r]_q \ar@{}[dr]|{\overset{\alpha}\Leftarrow} & B\ar[d]^g \\
A \ar[r]_f & C
}[/tex]

esiste un'unica \(\tau : u \Rightarrow u'\) tale che \(p * \tau = \tau_0, q * \tau = \tau_1\).

3. Ogni volta che una 2-cella \(\theta : u \Rightarrow u'\) tra due 1-celle parallele \(u,u' : X \to (f/g)\) è tale da diventare un isomorfismo quando viene whiskerata con \(p\) e con \(q\), era già un isomorfismo.