Bound per la funzione divisore.
Va bene come dimostrazione?
Dimostra che se \( \tau(n) \) è la funzione divisore (che restituisce il numero di divisori di \(n\)) allora per ogni \( \epsilon >0 \) esiste una costante \( C_{\epsilon} >0 \) tale che
\[ \tau(n) \leq C_{\epsilon} n^{\epsilon} \]
Sia \( n = \prod_{j=1}^{k} p_j^{\alpha_j } \). Fissiamo \( \epsilon \) e supponiamo che per ogni \(j \in J \subseteq \{1,\ldots,k\} \) risulta che \( p_j^{\alpha_j \epsilon} \leq (\alpha_j +1) \) allora per la proprietà archimedea di \( \mathbb{R} \) abbiamo che esiste \( C(\epsilon,j) \in \mathbb{R} \) tale che \( (\alpha_j +1) \leq C(\epsilon,j) p_j^{\alpha_j \epsilon} \), poniamo dunque \( C_{\epsilon} := \max_{j \in J} \{ C(\epsilon,j) \}\), abbiamo dunque che
\[ \tau(n) = \prod_{j=1}^{k} \tau(p^{\alpha_j}) = \prod_{j=1}^{k} (\alpha_j +1) \leq \prod_{j=1}^{k} C_{\epsilon} p_j^{\alpha_j \epsilon} = C_{\epsilon} \prod_{j=1}^{k} p_j^{\alpha_j \epsilon }= C_{\epsilon} n^{\epsilon} \]
Il mio problema è che non sono certo che la costante così come l'ho definita dipenda solo da \( \epsilon \).
Dimostra che se \( \tau(n) \) è la funzione divisore (che restituisce il numero di divisori di \(n\)) allora per ogni \( \epsilon >0 \) esiste una costante \( C_{\epsilon} >0 \) tale che
\[ \tau(n) \leq C_{\epsilon} n^{\epsilon} \]
Sia \( n = \prod_{j=1}^{k} p_j^{\alpha_j } \). Fissiamo \( \epsilon \) e supponiamo che per ogni \(j \in J \subseteq \{1,\ldots,k\} \) risulta che \( p_j^{\alpha_j \epsilon} \leq (\alpha_j +1) \) allora per la proprietà archimedea di \( \mathbb{R} \) abbiamo che esiste \( C(\epsilon,j) \in \mathbb{R} \) tale che \( (\alpha_j +1) \leq C(\epsilon,j) p_j^{\alpha_j \epsilon} \), poniamo dunque \( C_{\epsilon} := \max_{j \in J} \{ C(\epsilon,j) \}\), abbiamo dunque che
\[ \tau(n) = \prod_{j=1}^{k} \tau(p^{\alpha_j}) = \prod_{j=1}^{k} (\alpha_j +1) \leq \prod_{j=1}^{k} C_{\epsilon} p_j^{\alpha_j \epsilon} = C_{\epsilon} \prod_{j=1}^{k} p_j^{\alpha_j \epsilon }= C_{\epsilon} n^{\epsilon} \]
Il mio problema è che non sono certo che la costante così come l'ho definita dipenda solo da \( \epsilon \).
Risposte
Definiamo
\[ \mathbb{P} = \{ p: p \text{ primo} \} \]
\[ \mathbb{P}_{\epsilon} = \{ p \in \mathbb{P} : p \leq e^{1/\epsilon} \} \]
Abbiamo chiaramente che per ogni \( \epsilon > 0 \) risulta che \( \operatorname{card}(\mathbb{P}_{\epsilon}) \in \mathbb{N} \).
Abbiamo che \( r+1 \leq e^r \) per ogni \( r \in \mathbb{R} \) e pertanto per ogni \( p \not\in \mathbb{P}_{\epsilon} \) e per ogni \( r \in \mathbb{N} \) risulta che
\[ \frac{r+1}{p^{\epsilon r}} \leq \frac{e^r}{e^{\epsilon r/\epsilon}} = 1 \]
Sia inoltre
\[ K_{\epsilon} := \max_{ r \in [0,\infty)} \frac{r+1}{2^{\epsilon r}} \]
Che è ben definito poiché \( \epsilon >0 \) risulta che \[ \lim_{r \to \infty} \frac{r+1}{2^{\epsilon r}} =0 \]
Sia dunque \( n= \prod_{j=1}^{k} p_j^{\alpha_j} \). Risulta dunque che
\[ \frac{\tau(n)}{n^{\epsilon}} = \prod_{1 \leq j \leq k} \frac{\alpha_j +1}{p_j^{\alpha_j \epsilon}} \leq \prod_{\substack{1 \leq j \leq k \\ p_j \in \mathbb{P}_{\epsilon}}} \frac{\alpha_j +1}{p_j^{\alpha_j \epsilon}} \leq \prod_{\substack{1 \leq j \leq k \\ p_j \in \mathbb{P}_{\epsilon}}} \frac{\alpha_j +1}{2^{\alpha_j \epsilon}} \leq \prod_{\substack{1 \leq j \leq k \\ p_j \in \mathbb{P}_{\epsilon}}} K_{\epsilon} \leq K_{\epsilon}^{\operatorname{card}(\mathbb{P}_{\epsilon})} \]
Definiamo dunque \[ C_{\epsilon} := K_{\epsilon}^{\operatorname{card}(\mathbb{P}_{\epsilon})} \]
e segue che
\[ \tau(n) \leq C_{\epsilon} n^{\epsilon} \]
\[ \mathbb{P} = \{ p: p \text{ primo} \} \]
\[ \mathbb{P}_{\epsilon} = \{ p \in \mathbb{P} : p \leq e^{1/\epsilon} \} \]
Abbiamo chiaramente che per ogni \( \epsilon > 0 \) risulta che \( \operatorname{card}(\mathbb{P}_{\epsilon}) \in \mathbb{N} \).
Abbiamo che \( r+1 \leq e^r \) per ogni \( r \in \mathbb{R} \) e pertanto per ogni \( p \not\in \mathbb{P}_{\epsilon} \) e per ogni \( r \in \mathbb{N} \) risulta che
\[ \frac{r+1}{p^{\epsilon r}} \leq \frac{e^r}{e^{\epsilon r/\epsilon}} = 1 \]
Sia inoltre
\[ K_{\epsilon} := \max_{ r \in [0,\infty)} \frac{r+1}{2^{\epsilon r}} \]
Che è ben definito poiché \( \epsilon >0 \) risulta che \[ \lim_{r \to \infty} \frac{r+1}{2^{\epsilon r}} =0 \]
Sia dunque \( n= \prod_{j=1}^{k} p_j^{\alpha_j} \). Risulta dunque che
\[ \frac{\tau(n)}{n^{\epsilon}} = \prod_{1 \leq j \leq k} \frac{\alpha_j +1}{p_j^{\alpha_j \epsilon}} \leq \prod_{\substack{1 \leq j \leq k \\ p_j \in \mathbb{P}_{\epsilon}}} \frac{\alpha_j +1}{p_j^{\alpha_j \epsilon}} \leq \prod_{\substack{1 \leq j \leq k \\ p_j \in \mathbb{P}_{\epsilon}}} \frac{\alpha_j +1}{2^{\alpha_j \epsilon}} \leq \prod_{\substack{1 \leq j \leq k \\ p_j \in \mathbb{P}_{\epsilon}}} K_{\epsilon} \leq K_{\epsilon}^{\operatorname{card}(\mathbb{P}_{\epsilon})} \]
Definiamo dunque \[ C_{\epsilon} := K_{\epsilon}^{\operatorname{card}(\mathbb{P}_{\epsilon})} \]
e segue che
\[ \tau(n) \leq C_{\epsilon} n^{\epsilon} \]
Il prof ci ha chiesto di trovare una seconda dimostrazione dimostrando che
\[ \sum_{n \leq x} d_k (n) \ll_k x \left( \log x \right)^{k-1} \]
Dove \( d_k = \underbrace{\varepsilon \ast \ldots \ast \varepsilon}_{k-volte} \) e \( \varepsilon(n) =1 \) per ogni \(n \in \mathbb{N} \).
Usando e dimostrando che \( \tau(n)^k \leq d_{2^k}(n) \) e poi prendere \(k=2^N \) per \(N\) grande a sufficienza e ottenere un upper bound \( \tau(n) \ll_{\epsilon} n^{\epsilon} \).
Ma proprio non ho idea di come fare.
Presumo che il simbolo \( \ll_k \) sia il simbolo di Vinogradov dove la costante di dominazione dipende da una costante \(k\).
\[ \sum_{n \leq x} d_k (n) \ll_k x \left( \log x \right)^{k-1} \]
Dove \( d_k = \underbrace{\varepsilon \ast \ldots \ast \varepsilon}_{k-volte} \) e \( \varepsilon(n) =1 \) per ogni \(n \in \mathbb{N} \).
Usando e dimostrando che \( \tau(n)^k \leq d_{2^k}(n) \) e poi prendere \(k=2^N \) per \(N\) grande a sufficienza e ottenere un upper bound \( \tau(n) \ll_{\epsilon} n^{\epsilon} \).
Ma proprio non ho idea di come fare.
Presumo che il simbolo \( \ll_k \) sia il simbolo di Vinogradov dove la costante di dominazione dipende da una costante \(k\).
Ho trovato un articolo che potrebbe essermi utile, però non riesco ad accedere, nemmeno con l'account dell'università. E onestamente non ho voglia di pagare 30 euro per risolvere un esercizio di una serie di un corso 
. Qualcuno saprebbe dove posso trovarlo?
https://www.degruyter.com/view/journals/crll/1980/313/article-p161.xml
. Qualcuno saprebbe dove posso trovarlo? https://www.degruyter.com/view/journals/crll/1980/313/article-p161.xml
Sono passato dal prof in ufficio e mi ha dato qualche hint e mi ha detto di procedere in questo modo
- Dimostra per induzione che
\[ \sum_{n \leq x} d_k(n) \leq \frac{1}{(k-1)!} x(\log x + k-1)^{k-1} \]
- Ora non ricordo cosa aveva scritto alla sua lavagna
\[ x^2 \ll_k x(\log x)^{k-1} \]
oppure
\[x(\log x)^{k-1} \ll_k x^2 \]
direi più la prima eheh, però boh
- Dimostra che per \(N\) sufficientemente grande (valutando le due funzioni sui primi)
\[ \tau^N(n) \leq d_{2^N}(n) \]
Concludi
Allora per il punto 1) nel induzione mi blocco!!
Per \(k=1\) abbiamo chiaramente che
\[ \sum_{n \leq x} d_1(n) = \sum_{n \leq x} \varepsilon(n) = \sum_{n \leq x} 1 \leq x \]
Poi sappiamo che
\[ d_{k+1}(n) = d_k \ast \varepsilon(n) \]
Dunque
\[ \sum_{n \leq x} d_{k+1}(n) \leq \sum_{n \leq x} (d_k \ast \varepsilon)(n) = \sum_{n \leq x} 1 \sum_{d \mid n} d_k(d) =\ldots \]
In qualche modo devo ottenere \[ \frac{1}{(k-1)!} x(\log x + k-1)^{k-1} \cdot \frac{1}{k} x(\log x + k-1) = \frac{1}{k!} x(\log x + k-1)^{k} \leq \frac{1}{k!} x(\log x + k-1)^{k} \]
Dove il primo termine è ottenuto sulla somma
\[ \left( \sum_{n \leq x} d_k(n) \right) \cdot \text{qualcosa} \]
Ma non riesco a capire come spezzare quella somma
Per il punto 2)
\[ x \ll_k \left( \log x \right)^{k-1} \]
poiché un esponenziale va ad infinito molto più rapidamente di un qualunque polinomio. Dunque
\[ x^2 \ll_k x\left( \log x \right)^{k-1} \]
Per il punto 3)
Allora siccome sia \( \tau^N \) che \( d_{2^N} \) sono moltiplicative abbiamo che è sufficiente verificare la disuguaglianza sulle potenze dei primi. Sia \(p\) primo e \(r\) un intero positivo arbitrario. Abbiamo che
\[ \tau(p^r)^N = (p^r+1)^N \]
Il problema è valutare
\[ d_{2^N}(p^r) = \sum_{ \substack{p^r = a_1 \cdot \ldots \cdot a_{2^N} \\ a_i \in \mathbb{N} } } 1 \]
è evidente che è più grande per \(N\) sufficientemente grande, ma non so come dimostrarlo formalmente.
Infatti ho molte più scelte. Nel senso che se \[ \tau(p^r) = \sum_{ \substack{p^r = a_1a_2 \\ a_i \in \mathbb{N} } } 1 \leq \sum_{ \substack{p^r = a_1 \cdot \ldots \cdot a_{2^N} \\ a_i \in \mathbb{N} } } 1 = d_{2^N}(p^r) \]
Perché appunto se consideriamo \(a_1 \) nella prima e nella seconda somma. Chiaramente possiamo sceglierli uguali. Solo che nella prima somma la scelta di \(a_1 \) determina la scelta di \(a_2 \) mentre nella sommatoria a destra no, nel senso che restringe le possibilità per \(a_2 \) ma posso sceglierlo comunque più piccolo.
Ad esempio se scelgo \(a_1 = p^w \) nella prima somma \( a_2 = p^{r-w} \) mentre nella seconda somma \(a_2 \in \{ p^{\alpha} : 0 \leq \alpha \leq r-w \} \). Quindi per ogni \(a_1 \) ho più scelte d \(a_2 \) e quindi più "1" da sommare.
Concludiamo per multiplicatività delle funzioni.
Ora come combinare questi risultati??
Potrei fare
\[ \sum_{n \leq x } \tau(n)^N \leq \sum_{n \leq x } d_{2^N}(n) \ll_{2^N} x \left( \log x \right)^{2^N -1} \]
Ma da qui a concludere che \( \tau(n) \ll_{\epsilon} n^{\epsilon} \) per ogni \( \epsilon > 0 \) mi è oscuro anche perché fino ad ora ho considerato sempre \(k\) intero mentre \( \epsilon \) è arbitrario....
Inoltre non uso mai il punto 2)...
Il prof lo usava per dire qualcosa tipo \( \tau(n) \leq \operatorname{qualcosa}^{2/N} \) oppure \( \tau(n) \leq \operatorname{qualcosa}^{N/2} \)...
direi più la prima, ma anche qui non ricordo
- Dimostra per induzione che
\[ \sum_{n \leq x} d_k(n) \leq \frac{1}{(k-1)!} x(\log x + k-1)^{k-1} \]
- Ora non ricordo cosa aveva scritto alla sua lavagna
\[ x^2 \ll_k x(\log x)^{k-1} \]
oppure
\[x(\log x)^{k-1} \ll_k x^2 \]
direi più la prima eheh, però boh
- Dimostra che per \(N\) sufficientemente grande (valutando le due funzioni sui primi)
\[ \tau^N(n) \leq d_{2^N}(n) \]
Concludi
Allora per il punto 1) nel induzione mi blocco!!
Per \(k=1\) abbiamo chiaramente che
\[ \sum_{n \leq x} d_1(n) = \sum_{n \leq x} \varepsilon(n) = \sum_{n \leq x} 1 \leq x \]
Poi sappiamo che
\[ d_{k+1}(n) = d_k \ast \varepsilon(n) \]
Dunque
\[ \sum_{n \leq x} d_{k+1}(n) \leq \sum_{n \leq x} (d_k \ast \varepsilon)(n) = \sum_{n \leq x} 1 \sum_{d \mid n} d_k(d) =\ldots \]
In qualche modo devo ottenere \[ \frac{1}{(k-1)!} x(\log x + k-1)^{k-1} \cdot \frac{1}{k} x(\log x + k-1) = \frac{1}{k!} x(\log x + k-1)^{k} \leq \frac{1}{k!} x(\log x + k-1)^{k} \]
Dove il primo termine è ottenuto sulla somma
\[ \left( \sum_{n \leq x} d_k(n) \right) \cdot \text{qualcosa} \]
Ma non riesco a capire come spezzare quella somma
Per il punto 2)
\[ x \ll_k \left( \log x \right)^{k-1} \]
poiché un esponenziale va ad infinito molto più rapidamente di un qualunque polinomio. Dunque
\[ x^2 \ll_k x\left( \log x \right)^{k-1} \]
Per il punto 3)
Allora siccome sia \( \tau^N \) che \( d_{2^N} \) sono moltiplicative abbiamo che è sufficiente verificare la disuguaglianza sulle potenze dei primi. Sia \(p\) primo e \(r\) un intero positivo arbitrario. Abbiamo che
\[ \tau(p^r)^N = (p^r+1)^N \]
Il problema è valutare
\[ d_{2^N}(p^r) = \sum_{ \substack{p^r = a_1 \cdot \ldots \cdot a_{2^N} \\ a_i \in \mathbb{N} } } 1 \]
è evidente che è più grande per \(N\) sufficientemente grande, ma non so come dimostrarlo formalmente.
Infatti ho molte più scelte. Nel senso che se \[ \tau(p^r) = \sum_{ \substack{p^r = a_1a_2 \\ a_i \in \mathbb{N} } } 1 \leq \sum_{ \substack{p^r = a_1 \cdot \ldots \cdot a_{2^N} \\ a_i \in \mathbb{N} } } 1 = d_{2^N}(p^r) \]
Perché appunto se consideriamo \(a_1 \) nella prima e nella seconda somma. Chiaramente possiamo sceglierli uguali. Solo che nella prima somma la scelta di \(a_1 \) determina la scelta di \(a_2 \) mentre nella sommatoria a destra no, nel senso che restringe le possibilità per \(a_2 \) ma posso sceglierlo comunque più piccolo.
Ad esempio se scelgo \(a_1 = p^w \) nella prima somma \( a_2 = p^{r-w} \) mentre nella seconda somma \(a_2 \in \{ p^{\alpha} : 0 \leq \alpha \leq r-w \} \). Quindi per ogni \(a_1 \) ho più scelte d \(a_2 \) e quindi più "1" da sommare.
Concludiamo per multiplicatività delle funzioni.
Ora come combinare questi risultati??
Potrei fare
\[ \sum_{n \leq x } \tau(n)^N \leq \sum_{n \leq x } d_{2^N}(n) \ll_{2^N} x \left( \log x \right)^{2^N -1} \]
Ma da qui a concludere che \( \tau(n) \ll_{\epsilon} n^{\epsilon} \) per ogni \( \epsilon > 0 \) mi è oscuro anche perché fino ad ora ho considerato sempre \(k\) intero mentre \( \epsilon \) è arbitrario....
Inoltre non uso mai il punto 2)...
Il prof lo usava per dire qualcosa tipo \( \tau(n) \leq \operatorname{qualcosa}^{2/N} \) oppure \( \tau(n) \leq \operatorname{qualcosa}^{N/2} \)...
direi più la prima, ma anche qui non ricordo
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