Binomio di Newton

[frak27]

Ciao ragazzi,

non capisco come risolvere questo esercizio d'esame degli anni passati:

Dimostrare che per ogni numero positivo $n$ e per ogni numero reale positivo $a$ si ha $(1 + a)n ≥ 1 + na$.
Soluzione: binomio di Newton.

Come si fa tramite il binomio di Newton a dimostrarlo?


Di questa tipologia c'è anche quest'altro:

Dimostrare che per ogni numero positivo $n$ si ha $2^n ≥ n$.
Soluzione: biniomio di Newton.

[killing_buddha]

\[
(1+a)^n = 1+na + \text{altra roba}
\] e il binomio di Newton ti dice che questa altra roba è
\[
\sum_{k=2}^n \binom{n}{k}a^k
\] il quale numero è positivo, quando $a > 0$.

Per quanto riguarda il secondo, si tratta del caso particolare $a=1$.

[frak27]

Grazie mille!

Quindi per $n=1$

$(1+a)^1=1+na$

Mentre per le successive potenze

$(1+a)^n=1+na$ + la sommatoria da k=2 a n

e dato che $a$ è sempre positivo questo è sempre $>=1+na$



Per il secondo è come fare il binomio di Newton di $(1+1)^n$ ? Penso di aver trovato la soluzione così.

[Cantor99]

$2^n=(1+1)^n>=1+n>n$
(Giusto @killing_buddha??)

[killing_buddha]

Eh già!