Binomiale e azioni di gruppi

[anto_zoolander]

Ciao!

ho un dubbio sulla dimostrazione della seguente affermazione

siano $m,p,alpha$ numeri interi positivi con $p$ primo

se $(p,m)=1$ allora $((p^(alpha)m),(p^(alpha)))equivm(mod p)$

dimostrazione

si definiscono i seguenti insiemi

$G:=ZZ_(p^(alpha)m)$

$H:=<>$

$X={S subset G: abs(S)=p^(alpha)}$

l'azione $*:HtimesX->X$ definita come $h*S=h+S$ e $X_0={S in X: h+S=S, forall h in H}$

intanto $abs(H)=p^(alpha)$ poichè da un lato $p^(alpha)overline(m)=0$

dall'altro per $r>0$ se $roverline(m)=0 => p^(alpha)m|rm =>r=p^(alpha)kgeqp^(alpha)$

quindi il periodo è proprio $p^(alpha)$ e $abs(H)=p^(alpha)$

d'altra parte poichè $H$ è un $p-$gruppo si ha $((p^(alpha)m),(p^(alpha)))=abs(X)equiv abs(X_0)(mod p)$

sicuramente $X_0$ contiene $G/H$ quindi basta mostrare che vale anche il viceversa

parte su cui ho dubbi

definisco $S+H:={s+h: s in S, h in H}$

se $S in X_0$ allora $bigcup_(s in S)(s+H)=S+H=bigcup_(h in H)(S+h)=bigcup_(h in H)S=S$

pertanto qualsiasi sia $s in S$ si ha $s+HsubsetS$ con $abs(s+H)=abs(S) => s+H=S$

[Studente Anonimo]

Scusa quale sarebbe il problema?

[anto_zoolander]

La correttezza delle ultime tre righe: nella dimostrazione questa parte era omessa

[Studente Anonimo]

Sì le ultime tre righe sono corrette.

[anto_zoolander]

Ti ringrazio Martino