Binomiale di un numero negativo
Ho notato che il binomiale $((n-1),(-1))=0$, volevo sapere se ci fosse un motivo preciso per cui vale questo.
Risposte
Il binomiale non è definito per interi negativi. La scrittura "ingenua" chiaramente non ha senso, e anche i modi di estendere la funzione fattoriale a un dominio più grande, comunque lasciano fuori gli interi negativi: https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
"megas_archon":
Il binomiale non è definito per interi negativi. La scrittura "ingenua" chiaramente non ha senso, e anche i modi di estendere la funzione fattoriale a un dominio più grande, comunque lasciano fuori gli interi negativi: https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function
Beh allora c'è qualcosa di strano nella dimostrazione per induzione che il mio prof ha fatto per mostrare che vale ancora $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n ((n),(k))a^kb^(n-k)$ in un anello commutativo e unitario:
in pratica partendo da $(a+b)^n=(a+b)(a+b)^(n-1)$ usando l'ipotesi induttiva per $n-1$ e facendo un po' di calcoli e indicizzazioni viene $\sum_{k=1}^n ((n-1),(k-1))a^kb^(n-k) + \sum_{k=0}^(n-1) ((n-1),(k))a^kb^(n-k)=\sum_{k=0}^n (((n-1),(k-1))+((n-1),(k)))a^kb^(n-k)$ quindi per passare al secondo termine dell'equazione aggiunge (integrandolo nella sommatoria) e toglie i termini per l'appunto $ ((n-1),(-1)) $ sia per la prima che per la seconda sommatoria, però da quello che ho capito questo termine è $0$ quindi viene quella uguaglianza.
Se usi l'ipotesi induttiva per \(n-1\), allora \(n\ge 1\)...
"megas_archon":
Se usi l'ipotesi induttiva per \(n-1\), allora \(n\ge 1\)...
Si ma ad esempio $ \sum_{k=1}^n ((n-1),(k-1))a^kb^(n-k) $ lo devo trasformare in $ \sum_{k=0}^n ((n-1),(k-1))a^kb^(n-k) $ quindi aggiungo (inglobandolo nella sommatoria $ \sum_{k=1}^n ((n-1),(k-1))a^kb^(n-k) $) e tolgo il termine $ ((n-1),(-1)) $ no? Se questo è $0$ allora vale che $ \sum_{k=1}^n ((n-1),(k-1))a^kb^(n-k)=\sum_{k=0}^n ((n-1),(k-1))a^kb^(n-k)$.
Ma la sommatoria $\sum_{k=0}^n ((n-1),(k-1))a^kb^(n-k) $ non ha senso proprio perché \(\binom{n-1}{k-1}\) non è definito per $k=0$.
Credo sia il caso che tu faccia un passo indietro e ricominci a dimostrare il fatto che ti interessa dall'inizio: vuoi dimostrare, per induzione, che \((a+b)^n\) è uguale alla ben nota sommatoria, in ogni anello commutativo unitario.
Chiaramente, \((a+b)^0 = 1, (a+b)^1 = a+b\) (l'induzione può partire da 0 o da 1 e la tesi resta vera, così non dobbiamo esporci a decidere se i naturali partono da zero o da uno).
Ora, se \((a+b)^n\) è uguale a quella roba là, a cosa sarà uguale \((a+b)^{n+1}\) (l'induzione deve andare avanti, non indietro)? Beh, a \((a+b)(a+b)^n\), che a una volta è uguale ad \(a(a+b)^n + b(a+b)^n\); ma ora l'ipotesi induttiva ti dà una espressione per \((a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}\), sicché
\[
\begin{align*}
a(a+b)^n + b(a+b)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n+1-k} \\
&= \sum_{r=1}^n \binom{n}{r-1} a^r b^{n-r+1} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n+1-k} \\
&= \sum_{r=1}^n \binom{n}{r-1} a^r b^{n-r+1} + \sum_{r=1}^n \binom{n}{r} a^r b^{n+1-r} + b^{n+1}\\
&= \sum_{r=1}^n \left(\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r}\right) a^r b^{n-r+1} + b^{n+1}\\
&=\sum_{r=1}^n \binom{n+1}{r} a^r b^{n+1-r} + b^{n+1}\\
\end{align*}
\]
Credo sia il caso che tu faccia un passo indietro e ricominci a dimostrare il fatto che ti interessa dall'inizio: vuoi dimostrare, per induzione, che \((a+b)^n\) è uguale alla ben nota sommatoria, in ogni anello commutativo unitario.
Chiaramente, \((a+b)^0 = 1, (a+b)^1 = a+b\) (l'induzione può partire da 0 o da 1 e la tesi resta vera, così non dobbiamo esporci a decidere se i naturali partono da zero o da uno).
Ora, se \((a+b)^n\) è uguale a quella roba là, a cosa sarà uguale \((a+b)^{n+1}\) (l'induzione deve andare avanti, non indietro)? Beh, a \((a+b)(a+b)^n\), che a una volta è uguale ad \(a(a+b)^n + b(a+b)^n\); ma ora l'ipotesi induttiva ti dà una espressione per \((a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}\), sicché
\[
\begin{align*}
a(a+b)^n + b(a+b)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n+1-k} \\
&= \sum_{r=1}^n \binom{n}{r-1} a^r b^{n-r+1} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n+1-k} \\
&= \sum_{r=1}^n \binom{n}{r-1} a^r b^{n-r+1} + \sum_{r=1}^n \binom{n}{r} a^r b^{n+1-r} + b^{n+1}\\
&= \sum_{r=1}^n \left(\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r}\right) a^r b^{n-r+1} + b^{n+1}\\
&=\sum_{r=1}^n \binom{n+1}{r} a^r b^{n+1-r} + b^{n+1}\\
\end{align*}
\]
"megas_archon":
\[
\begin{align*}
a(a+b)^n + b(a+b)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n+1-k} \\
&= \sum_{r=1}^n \binom{n}{r-1} a^r b^{n-r+1} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n+1-k} \\
&= \sum_{r=1}^n \binom{n}{r-1} a^r b^{n-r+1} + \sum_{r=1}^n \binom{n}{r} a^r b^{n+1-r} + b^{n+1}\\
&= \sum_{r=1}^n \left(\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r}\right) a^r b^{n-r+1} + b^{n+1}\\
&=\sum_{r=1}^n \binom{n+1}{r} a^r b^{n+1-r} + b^{n+1}\\
\end{align*}
\]
E ma cosi la sommatoria è incompleta perchè dovevi mostrare che $(a+b)^(n+1)=\sum_{r=0}^(n+1) ((n+1),(r))a^rb^(n-r+1)$. E poi con $r=k+1$ non dovrebbe essere $\sum_{k=0}^(n) ((n),(k))a^kb^(n-k+1)=\sum_{r=1}^(n+1) ((n),(r))a^rb^(n-r+1)+b^(n+1)$
[quote=andreadel1988]dovevi mostrare che $(a+b)^(n+1)=\sum_{r=0}^(n+1) ((n+1),(r))a^rb^(n-r+1)$./quote] che è esattamente quel che c'è scritto, a meno che non stia vedendo un typo.
"megas_archon":
che è esattamente quel che c'è scritto, a meno che non stia vedendo un typo.
Io all'ultima sommatoria vedo soltanto $\sum_{r=1}^(n) ((n+1),(r))a^rb^(n-r+1)+b^(n+1)=\sum_{r=0}^(n) ((n+1),(r))a^rb^(n-r+1)$ ma manca $n+1$
Uff, è impossibile non incartarsi con gli indici quando si fanno queste dimostrazioni; meglio usare un metodo diverso. Siamo a \(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{k+1} b^{n-k} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n+1-k} \), da qui semplicemente scrivi
\[
\begin{multline*}
\binom n0 a b^n + \binom n1 a^2b^{n-1} + \dots + \binom n{n-1} a^n b + \binom nn a^{n+1} + \\
+ b^{n+1} + \binom n1 ab^n + \binom n2 a^2b^{n-1} + \dots + \binom nn a^nb
\end{multline*}
\] raccogli i termini che hanno gli stessi monomi \(a^ib^j\), ti viene
\[
b^{n+1} + \left(\binom n0 + \binom n1\right)ab^n + \left(\binom n1 + \binom n2\right)a^2b^{n-1} + \dots + a^{n+1}
\] e da qui è facile concludere. Nessun bisogno di binomiali di numeri negativi.
\[
\begin{multline*}
\binom n0 a b^n + \binom n1 a^2b^{n-1} + \dots + \binom n{n-1} a^n b + \binom nn a^{n+1} + \\
+ b^{n+1} + \binom n1 ab^n + \binom n2 a^2b^{n-1} + \dots + \binom nn a^nb
\end{multline*}
\] raccogli i termini che hanno gli stessi monomi \(a^ib^j\), ti viene
\[
b^{n+1} + \left(\binom n0 + \binom n1\right)ab^n + \left(\binom n1 + \binom n2\right)a^2b^{n-1} + \dots + a^{n+1}
\] e da qui è facile concludere. Nessun bisogno di binomiali di numeri negativi.
Penso proprio che la dimostrazione di megas_archon sia corretta, ma per rispondere solo alla domanda sui binomiali con argomento negativo,
Qui stai ASSUMENDO per convenzione che \(\binom{n-1}{k-1}=0\) per \(k=0\). Nota infatti che al membro sinistro la prima sommatoria parte da \(k=1\). In astratto hai fatto questo:
\[
\sum_{k=1}^n A_k + \sum_{k=0}^{n-1} B_k = \sum_{k=0}^n (\tilde{A}_k + \tilde{B}_k), \]
dove
\[
\tilde{A}_k=\begin{cases} A_k, & k\in \{1, \ldots, n\} \\ 0, & k=0,\end{cases}\]
e analogamente
\[
\tilde{B}_k=\begin{cases} B_k, & k\in \{0, \ldots, n-1\} \\ 0, & k=n.\end{cases}\]
Quel binomiale con argomento negativo è esattamente \(\tilde{A}_k\) per \(k=0\).
"andreadel1988":
$\sum_{k=1}^n ((n-1),(k-1))a^kb^(n-k) + \sum_{k=0}^(n-1) ((n-1),(k))a^kb^(n-k)=\sum_{k=0}^n (((n-1),(k-1))+((n-1),(k)))a^kb^(n-k)$
Qui stai ASSUMENDO per convenzione che \(\binom{n-1}{k-1}=0\) per \(k=0\). Nota infatti che al membro sinistro la prima sommatoria parte da \(k=1\). In astratto hai fatto questo:
\[
\sum_{k=1}^n A_k + \sum_{k=0}^{n-1} B_k = \sum_{k=0}^n (\tilde{A}_k + \tilde{B}_k), \]
dove
\[
\tilde{A}_k=\begin{cases} A_k, & k\in \{1, \ldots, n\} \\ 0, & k=0,\end{cases}\]
e analogamente
\[
\tilde{B}_k=\begin{cases} B_k, & k\in \{0, \ldots, n-1\} \\ 0, & k=n.\end{cases}\]
Quel binomiale con argomento negativo è esattamente \(\tilde{A}_k\) per \(k=0\).
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