\(\bigcap_n\bigcup_{m\geq n}A_m\) e \(\bigcap_n A_n\)
Ciao, amici! Vorrei chiedere se vale l'uguaglianza $\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m\geq n}A_m=\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ per arbitrari insiemi $A_n$.
Senz'altro $\bigcap_{n=1}^\infty A_n\subset\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m\geq n}A_m$, ma non sono certo che valga l'inclusione inversa...
$\infty$ grazie!
Senz'altro $\bigcap_{n=1}^\infty A_n\subset\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m\geq n}A_m$, ma non sono certo che valga l'inclusione inversa...
$\infty$ grazie!
Risposte
Direi che in generale sono diversi. Prova a vedere cosa ti viene fuori in questo caso:
\[A_n = \begin{cases}\{0,1\}&\quad {\rm se} \ n \ {\rm pari}\\\{0\}&\quad {\rm se} \ n \ {\rm dispari}\end{cases}\]
\[A_n = \begin{cases}\{0,1\}&\quad {\rm se} \ n \ {\rm pari}\\\{0\}&\quad {\rm se} \ n \ {\rm dispari}\end{cases}\]
Già: molto interessante. $\infty$ grazie!
Allora non si può prendere $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$, che sicuramente appartiene al $\delta$-anello $\mathfrak{M}$, invece di $ \bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m\geq n}A_m$ come limite della successione \(\{A_n\}_n\) (cfr. link a Mathstackexchange)...
Allora non si può prendere $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$, che sicuramente appartiene al $\delta$-anello $\mathfrak{M}$, invece di $ \bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m\geq n}A_m$ come limite della successione \(\{A_n\}_n\) (cfr. link a Mathstackexchange)...
Non riesco a seguire la questione con troppa attenzione perché ho un po' di altre cose per la testa, ma non capisco perché parli di serie (lapsus per "successione"?) né perché $A := \bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m\geq n}A_m$ non debba essere misurabile. Stai facendo un'intersezione numerabile di unioni numerabili, se sai che gli \(A_i\) sono misurabili, lo sarà anche $B_n := bigcup_{m\geq n}A_m$ per ogni \(n\) e quindi anche $A = \bigcap_{n=1}^\infty B_n$.
In ogni caso stai attento, a te servirebbe l'uguaglianza a meno di insiemi di misura nulla, non l'uguaglianza stretta. Infatti, \(A\) è solo il rappresentante di una classe d'equivalenza, se non lavori sul quoziente quel limite non è ben definito (ovvero esistono infiniti insiemi che sono un limite per quella successione, e sono tutti e soli gli insiemi uguali ad \(A\) a meno di insiemi di misura nulla).
In ogni caso stai attento, a te servirebbe l'uguaglianza a meno di insiemi di misura nulla, non l'uguaglianza stretta. Infatti, \(A\) è solo il rappresentante di una classe d'equivalenza, se non lavori sul quoziente quel limite non è ben definito (ovvero esistono infiniti insiemi che sono un limite per quella successione, e sono tutti e soli gli insiemi uguali ad \(A\) a meno di insiemi di misura nulla).
Grazie ancora!!!
Mi scusino tutti quelli che hanno letto finora: intendevo dire "successione". Ho editato.
"Epimenide93":
non capisco perché parli di serie (lapsus per "successione"?)
Mi scusino tutti quelli che hanno letto finora: intendevo dire "successione". Ho editato."Epimenide93":Il Kolmogorov-Fomin costruisce la misura di Lebesgue a partire da semianelli non unitari, arrivando a considerare $\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ misurabile se e solo se esiste una costante $K$ tale che $\forall N\in\mathbb{N}^+\quad\mu(\bigcup_{n=1}^N A_n)\leq K$, cfr. p. 270 qui. L'enunciato in esame è proprio l'osservazione complementare 2 alla pagina seguente. Tuttavia non mi stupirei se l'enunciato non fosse valido in generale, visto che ho ormai fatto l'abitudine alla trattazione carente di dettagli essenziali non insolita nel testo (per esempio trattando operatori lineari, che si è detto in precedenza che possono essere definiti su varietà lineari contenute propriamente nello spazio, si nota nelle dimostrazioni di teoremi in cui non viene neanche esplicitato il dominio di definizione che essi valgono solo per operatori definiti su tutto lo spazio).
lo sarà anche $ B_n := bigcup_{m\geq n}A_m $ per ogni \( n \) e quindi anche $ A = \bigcap_{n=1}^\infty B_n $.
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