Bellissimo terorema gruppi abeliani
Ovvero: se G è abeliano finito di ordine n, e siano a1, a2,...an i suoi elementi, allora l'elemento (a1a2....an)^2 è uguale all'dentità.
L'attacco diretto non mi ha portano al risultato sperato. Forse è legato al teorema che segue ovvero : se lo stesso G non ha elementi di ordine 2, allora (a1a2...an) è = all'idendità.
Sono 2 Teoremi della Bibbia Herschel, ma come l'autore stesso dice non si "da alcuna indicazione circa il grado di difficoltà".
Vengono dopo il capitolo, per chi non avesse il testo sottomano, in cui c'è i teorema sui prodotti diretti di gruppi ciclici.
E' evidente che l'elemento (a1a2...an)^2 è uguale a uno degli ai. Suppongo che non sia (ad es.) a1=e (e non perdo in generalità se battezzo a1=e) e provo supporre che allora sia a2...a3...e dovrei ottenere una contraddizione ma qui mi schianto...
che ne pensate?
silov
L'attacco diretto non mi ha portano al risultato sperato. Forse è legato al teorema che segue ovvero : se lo stesso G non ha elementi di ordine 2, allora (a1a2...an) è = all'idendità.
Sono 2 Teoremi della Bibbia Herschel, ma come l'autore stesso dice non si "da alcuna indicazione circa il grado di difficoltà".
Vengono dopo il capitolo, per chi non avesse il testo sottomano, in cui c'è i teorema sui prodotti diretti di gruppi ciclici.
E' evidente che l'elemento (a1a2...an)^2 è uguale a uno degli ai. Suppongo che non sia (ad es.) a1=e (e non perdo in generalità se battezzo a1=e) e provo supporre che allora sia a2...a3...e dovrei ottenere una contraddizione ma qui mi schianto...
che ne pensate?
silov
Risposte
Bibbia Herschel? È un manuale di teoria dei gruppi? Devo dire sinceramente che non l'ho mai sentito nominare. Puoi fornire maggiori dati bibliografici?
Comunque il realtà è piuttosto banale. Basta usare la commutatività e il fatto che la funzione biettiva \(g\mapsto g^{-1}\) fissa gli elementi di ordine \(2\) e l'identità.
Comunque il realtà è piuttosto banale. Basta usare la commutatività e il fatto che la funzione biettiva \(g\mapsto g^{-1}\) fissa gli elementi di ordine \(2\) e l'identità.
Ciao Vict85, scusa mi sono confuso con un altro testo che non c'entra nulla con l'algebra. Mi riferivo invece al noto Herstein!
quanto alla tua risposta, oggi mi metto li e cerco di capirla, poi ti dico..grazie
quanto alla tua risposta, oggi mi metto li e cerco di capirla, poi ti dico..grazie
Direi che vale qualcosa di più generale e più semplice da dimostrare:
Dato $G={a_1,...a_n}$ gruppo abeliano finito, l'elemento $a_1 * ... *a_n$ è l'identità.
(dunque, a maggior ragione, anche $(a_1 * ... *a_n)^2$ è l'identità)
Dato $G={a_1,...a_n}$ gruppo abeliano finito, l'elemento $a_1 * ... *a_n$ è l'identità.
(dunque, a maggior ragione, anche $(a_1 * ... *a_n)^2$ è l'identità)
grazie gi8, ma..
(a1a2..an)^n = e in un gruppo qualunque, anche non abeliano, giusto?
in un gruppo abeliano, inveci, come ci arrivo? allora, per dare evidenza che un minimo ci ho pensato
u = (a1a2..an)
molt. entrambi membri per u^-1
e= (u^-1) (a1a2...an)
ma certamente u=ai per qualche i (visto che è un gruppo) per es i=1
quindi
e= (a2a3..an)
quindi ?
la mia laurea in fisica è purtroppo molto lontana, ma una cosa alla volta arrivo.....pauca sed matura, appunto
grazie
(a1a2..an)^n = e in un gruppo qualunque, anche non abeliano, giusto?
in un gruppo abeliano, inveci, come ci arrivo? allora, per dare evidenza che un minimo ci ho pensato
u = (a1a2..an)
molt. entrambi membri per u^-1
e= (u^-1) (a1a2...an)
ma certamente u=ai per qualche i (visto che è un gruppo) per es i=1
quindi
e= (a2a3..an)
quindi ?
la mia laurea in fisica è purtroppo molto lontana, ma una cosa alla volta arrivo.....pauca sed matura, appunto
grazie
"Gi8":
Direi che vale qualcosa di più generale e più semplice da dimostrare:
Dato $G={a_1,...a_n}$ gruppo abeliano finito, l'elemento $a_1 * ... *a_n$ è l'identità.
(dunque, a maggior ragione, anche $(a_1 * ... *a_n)^2$ è l'identità)
\(\displaystyle G = \mathbb{Z}_6 \) con la somma. È un gruppo abeliano ed è finito ma \(\displaystyle 1+2+3+4+5 = 6 + 6 + 3 \equiv 3\pmod{6} \). Quindi direi che, come dice Silov, il teorema è \(\displaystyle (a_1 \dotsb a_n)^2 = e \) oppure anche \(\displaystyle a_1^2\dotsb a_n^2 = e \). Anche se trovandoci in un gruppo abeliano si potrebbe anche scrivere come \(\displaystyle 2a_1 + \dotsb + 2a_n = 0 \).
Nel caso di \(\displaystyle G = \mathbb{Z}_6 \) si ha \(\displaystyle 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 12 + 12 + 6 \equiv 0\pmod{6} \) che è quello che volevamo.
Ovviamente nel caso dispari il teorema di riduce al tuo per il semplice fatto che l'equazione \(\displaystyle x^2 = e \), in un gruppo \(\displaystyle G \) dispari, è equivalente a \(\displaystyle x = e \).
Giustissimo, ho sbagliato, pardon.
Rielaborando un po' quello che era il mio pensiero iniziale,
direi che potrebbe andare così (le ipotesi sono sempre le stesse di Silov):
Considero $B = {a in G setminus{e} | a^2=1}$, cioè il sottoinsieme formato dagli elementi di ordine $2$.
Se $B=emptyset$, allora $prod_{a in G} a=e$ (perchè?), dunque $(prod_{a in G} a)^2=e^2=e$
Se $B != emptyset$ allora $prod_{a in G} a=prod_{b in B}b$ (perchè?),
dunque, essendo il prodotto di elementi di ordine $2$, è esso stesso un elemento di ordine $2$.
Fine
(quando ho scritto il mio primo intervento supponevo $B=emptyset$, e ovviamente non è sempre vero)
Rielaborando un po' quello che era il mio pensiero iniziale,
direi che potrebbe andare così (le ipotesi sono sempre le stesse di Silov):
Considero $B = {a in G setminus{e} | a^2=1}$, cioè il sottoinsieme formato dagli elementi di ordine $2$.
Se $B=emptyset$, allora $prod_{a in G} a=e$ (perchè?), dunque $(prod_{a in G} a)^2=e^2=e$
Se $B != emptyset$ allora $prod_{a in G} a=prod_{b in B}b$ (perchè?),
dunque, essendo il prodotto di elementi di ordine $2$, è esso stesso un elemento di ordine $2$.
Fine
(quando ho scritto il mio primo intervento supponevo $B=emptyset$, e ovviamente non è sempre vero)
Prima di iniziare i commenti vorrei evidenziare che l’autore sta implicitamente assumento che \(\displaystyle G \) sia finito. Infatti, nella teoria dei gruppi, il concetto di somma/prodotto di infiniti elementi non è definito. Ci sono solo somme finite. Quindi affinché la somma degli elementi abbia senso si deve avere un gruppo finito. Insomma non abbiamo definito nessun concetto di limite o convergenza!
Se il gruppo è finito, cosa che ho già osservato essere implicita nelle ipotesi, allora un tale \(\displaystyle n \) esiste, in particolare è sicuramente vero per \(\displaystyle n = \lvert G\rvert \). La dimostrazione è banale e deriva dal fatto che quell'elemento è un elemento di \(\displaystyle G \). Comunque nel caso non abeliano si devono usare dimostrazioni differenti. I metodi per studiare i gruppi abeliani sono molto diversi da quelli usati per quelli che non lo sono.
Lo vedrai più avanti ma la principale ragione è che i gruppi abeliani si possono vedere come degli \(\displaystyle \mathbb{Z} \)-moduli e quindi si può sfruttare questa struttura. Nel caso non abeliano questo smette di essere vero.
Tieni conto che esiste un teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti.
Sia \(\displaystyle \{a_i\}_{i\in [n]} = G - \{e\} \) e quindi tale che \(\displaystyle \lvert G \rvert = n+1 \), \(\displaystyle a_i \in G \) e \(\displaystyle a_i \neq a_j \neq e \) per ogni \(\displaystyle i,j\in [n] = \{1, 2, \dotsc, n\} \).
Sia \(\displaystyle S_n \) il gruppo delle permutazioni di \(\displaystyle n \) elementi. Vogliamo mostrare che la funzione \(\displaystyle g\mapsto g^{-1} \) induce una permutazione \(\displaystyle \sigma \) di \(\displaystyle S_n \).
Ovviamente per ogni \(\displaystyle a_i \) si ha che \(\displaystyle a_i^{-1} = a_j \) per qualche \(\displaystyle j \) e per l'unicità dell'inverso questa funzione è ben definita. Banalmente si mostra che è suriettiva e iniettiva (sfruttando sempre l'unicità ed esistenza dell'inverso).
D'altra parte essendo \(\displaystyle G \) abeliano si ha che \(\displaystyle u = a_1\dotsb a_n = a_{\tau(1)}\dotsb a_{\tau(n)} \) per ogni \(\displaystyle \tau \in S_n \). Questo vuol dire che in particolare si ha che \(\displaystyle u = a_{\sigma(1)}\dotsb a_{\sigma(n)} = a_{1}^{-1}\dotsb a_{n}^{-1} = (a_{1}\dotsb a_{n})^{-1} = u^{-1} \) da cui ricaviamo \(\displaystyle u^2 = e \). Questa dimostrazione è abbastanza sintetica e può essere utile nel caso in cui si voglia tentare di generalizzare al caso infinito usando le serie, o per lo meno mostra come mai le cose falliscano.
Un modo più costruttivo consiste nel supporre che si abbia, per ogni \(\displaystyle i \), \(\displaystyle a_i^2 = e \) oppure \(\displaystyle a_{i}a_{j} = e \) con \(\displaystyle j\) contiguo ad \(\displaystyle i \). Questo caso si può sempre raggiungere ed è immediato che porti a \(\displaystyle u = a \) con \(\displaystyle a^2 = e \) (cioè elimini ogni elemento che non abbia ordine 2).
"silov":
grazie gi8, ma..
\(\displaystyle (a_1\dotsb a_n)^n = e \) in un gruppo qualunque, anche non abeliano, giusto?
Se il gruppo è finito, cosa che ho già osservato essere implicita nelle ipotesi, allora un tale \(\displaystyle n \) esiste, in particolare è sicuramente vero per \(\displaystyle n = \lvert G\rvert \). La dimostrazione è banale e deriva dal fatto che quell'elemento è un elemento di \(\displaystyle G \). Comunque nel caso non abeliano si devono usare dimostrazioni differenti. I metodi per studiare i gruppi abeliani sono molto diversi da quelli usati per quelli che non lo sono.
Lo vedrai più avanti ma la principale ragione è che i gruppi abeliani si possono vedere come degli \(\displaystyle \mathbb{Z} \)-moduli e quindi si può sfruttare questa struttura. Nel caso non abeliano questo smette di essere vero.
Tieni conto che esiste un teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti.
"silov":
in un gruppo abeliano, inveci, come ci arrivo? allora, per dare evidenza che un minimo ci ho pensato
u = (a1a2..an)
molt. entrambi membri per u^-1
e= (u^-1) (a1a2...an)
ma certamente u=ai per qualche i (visto che è un gruppo) per es i=1
quindi
e= (a2a3..an)
quindi ?
la mia laurea in fisica è purtroppo molto lontana, ma una cosa alla volta arrivo.....pauca sed matura, appunto
grazie
Sia \(\displaystyle \{a_i\}_{i\in [n]} = G - \{e\} \) e quindi tale che \(\displaystyle \lvert G \rvert = n+1 \), \(\displaystyle a_i \in G \) e \(\displaystyle a_i \neq a_j \neq e \) per ogni \(\displaystyle i,j\in [n] = \{1, 2, \dotsc, n\} \).
Sia \(\displaystyle S_n \) il gruppo delle permutazioni di \(\displaystyle n \) elementi. Vogliamo mostrare che la funzione \(\displaystyle g\mapsto g^{-1} \) induce una permutazione \(\displaystyle \sigma \) di \(\displaystyle S_n \).
Ovviamente per ogni \(\displaystyle a_i \) si ha che \(\displaystyle a_i^{-1} = a_j \) per qualche \(\displaystyle j \) e per l'unicità dell'inverso questa funzione è ben definita. Banalmente si mostra che è suriettiva e iniettiva (sfruttando sempre l'unicità ed esistenza dell'inverso).
D'altra parte essendo \(\displaystyle G \) abeliano si ha che \(\displaystyle u = a_1\dotsb a_n = a_{\tau(1)}\dotsb a_{\tau(n)} \) per ogni \(\displaystyle \tau \in S_n \). Questo vuol dire che in particolare si ha che \(\displaystyle u = a_{\sigma(1)}\dotsb a_{\sigma(n)} = a_{1}^{-1}\dotsb a_{n}^{-1} = (a_{1}\dotsb a_{n})^{-1} = u^{-1} \) da cui ricaviamo \(\displaystyle u^2 = e \). Questa dimostrazione è abbastanza sintetica e può essere utile nel caso in cui si voglia tentare di generalizzare al caso infinito usando le serie, o per lo meno mostra come mai le cose falliscano.
Un modo più costruttivo consiste nel supporre che si abbia, per ogni \(\displaystyle i \), \(\displaystyle a_i^2 = e \) oppure \(\displaystyle a_{i}a_{j} = e \) con \(\displaystyle j\) contiguo ad \(\displaystyle i \). Questo caso si può sempre raggiungere ed è immediato che porti a \(\displaystyle u = a \) con \(\displaystyle a^2 = e \) (cioè elimini ogni elemento che non abbia ordine 2).
beh grazie infinite per i vostri contributi! ora vedo la luce..
provo a sintetizzare ancora, vict85 (correggi se il caso) : essendo G abeliano, (a1..an) , posso permutare come voglio gli ai secondo una qualunqe Sn, ottenendo tutte espressioni uguali. in particolare (a1..an) è anche uguale all'espressione ottenuta applicando la permutazione τ di Sn che porta ogni ai nel suo inverso (che esiste, ed è unico) dunque u = u^-1 da cui ecc...
è vero che alla fine è semplice, ma mi piace perchè usa in modo pulito gli elementi ESSENZIALI delle definizioni di base di gruppo e delle ipotesi (il fatto che siano TUTTI gli an garantisce di poter applicare le permutazioni e ovviamente l'abelianità)
@Gi8: grazie anche per la tua dimostrazione, mi sembra molto elegante, domani penso ai tuoi 2 "perchè"
PS
so bene che silov non si scrive così, ma è un italianizzazione che serve giusto a sdrammatizzare
e non prenderci troppo sul serio
provo a sintetizzare ancora, vict85 (correggi se il caso) : essendo G abeliano, (a1..an) , posso permutare come voglio gli ai secondo una qualunqe Sn, ottenendo tutte espressioni uguali. in particolare (a1..an) è anche uguale all'espressione ottenuta applicando la permutazione τ di Sn che porta ogni ai nel suo inverso (che esiste, ed è unico) dunque u = u^-1 da cui ecc...
è vero che alla fine è semplice, ma mi piace perchè usa in modo pulito gli elementi ESSENZIALI delle definizioni di base di gruppo e delle ipotesi (il fatto che siano TUTTI gli an garantisce di poter applicare le permutazioni e ovviamente l'abelianità)
@Gi8: grazie anche per la tua dimostrazione, mi sembra molto elegante, domani penso ai tuoi 2 "perchè"
PS
so bene che silov non si scrive così, ma è un italianizzazione che serve giusto a sdrammatizzare
e non prenderci troppo sul serio
ah dimenticavo: perchè non includere anche l'dentità e lasciare n come ordine di G? la permutazione che porta ogni elemento nel suo inverso sarà quella che fissa l'elemento identico, che certamente è uno degli ai..no? 
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