Bellissimo problema di gruppi

[a_g_t]

Ciao,

Volevo solo condividere con tutti un problema che ho trovato e ho risolto ieri sera. Secondo me vale la pena risolverlo, non è tanto difficile ma è veramente bellissimo!

Ecco il problema:

Dimostrare che i gruppi $ ( ZZ[X] , + ) $ e $ (QQ_+ , \cdot ) $ sono isomorfi.

[Gatto891]

Sono d'accordo con a_g_t, problema carino... noi lo abbiamo fatto a lezione quindi lo lascio a chi vuole provare

[vict85]

L'omomorfismo manda $0$ in $1$, $1$ in $2$, e $X^n$ all'$(n-1)$-esimo primo.

[salfor76]

Si può cominciare dalla definizione di isomorfismo?
ovvero per isomorfismo si intende un'applicazione biiettiva $f $(quindi anche iniettiva e suriettiva) tra i due insiemi
dotati di strutture della stessa specie tale che sia $f $ che la sua inversa $f^-1$ siano omomorfismi.

Per inciso per gruppo si intende ogni insieme G non vuoto, dotato di legge di composizione interna
che goda della proprietà associativa, che possiede l'elemento neutro e che sia simmetrizzabile in G.
se mi sbaglio correggi!

[Paolo902]

"salfor76":Si può cominciare dalla definizione di isomorfismo?
ovvero per isomorfismo si intende un'applicazione biiettiva $f $(quindi anche iniettiva e suriettiva) tra i due insiemi
dotati di strutture della stessa specie tale che sia $f $ che la sua inversa $f^-1$ siano omomorfismi.

Per inciso per gruppo si intende ogni insieme G non vuoto, dotato di legge di composizione interna
che goda della proprietà associativa, che possiede l'elemento neutro e che sia simmetrizzabile in G.
se mi sbaglio correggi!

Sinceramente non ho capito il senso del tuo intervento: non mi pare sia pertinente con il problema postato da a_g_t.

Comunque:
1. un gruppo è una struttura algebrica. Dato un insieme $G$, solitamente detto supporto, e una operazione $circ$, $(G, circ)$ è un gruppo se e soltanto se:
a. $circ$ è un'operazione binaria interna;
b. $circ$ è un'operazione associativa;
c. esiste un elemento $u$ tale che $a circ u= u circ a =a, forall a in G$ che si chiama elemento neutro.
d. ogni elemento ammette inverso.

2. un isomorfismo è un (omo)morfismo biettivo. Che cos'è un omomorfismo? E' una funzione che conserva le operazioni tra due gruppi.

Ciao.

P.S.
[mod="Paolo90"]Se vuoi proseguire questa conversazione apri un altro topic in algebra specifico sui tuoi dubbi sui gruppi, qui si rischia di andare OT. Grazie. [/mod]

[salfor76]

Ok Paolo90.
grazie delle correzioni e dei chiarimenti sulla definizione di gruppo e di omomorfismo.
in effetti ho un pò di dubbi e però mi interessava capire anche come risolvere il
quesito postato da a_g_t.

ad ogni modo provo ad aprire un nuovo post pertinente al tema!

Buona giornata!

[Paolo902]

"salfor76": e però mi interessava capire anche come risolvere il
quesito postato da a_g_t.

Ti confesso che il problema di a_g_t non mi pare dei più semplici (e forse proprio in questo sta al sua bellezza). Forse è meglio per te chiarire separatamente i tuoi dubbi sui concetti base, e dopo, se vorrai, potrai cimentarti da vicino con problemi del genere.

Naturalmente, il mio è solo un consiglio, sia chiaro.
Buona giornata a te.

[alvinlee881]

"vict85":L'omomorfismo manda $0$ in $1$, $1$ in $2$, e $X^n$ all'$(n-1)$-esimo primo.

Dovrebbe essere che manda $X^n$ nell' $(n+1)$- esimo primo, no? cmq bella soluzione vict