Base di un'estensione di campi
Stavo provando a svolgere degli esercizi e mi sono reso conto che le motivazioni di certe cose non mi sono tanto chiare, faccio un esempio:
Sia $F \sub E=F[\alpha]$ un estensione di campi e sia $\alpha$ algebrico su $F$, so che $F[\alpha]=F(\alpha)$ è un campo poichè è isomorfo a $(F[x])/((f_{\alpha}^{min}(x)))$ (che è campo), dove $f_{\alpha}^{min}(x)$ è il polinomio minimo di $\alpha$ su $F$, chiamiamo $\bar \psi_{\alpha}: (F[x])/((f_{\alpha}^{min}(x))) \to F[\alpha]$ tale isomorfismo.
So anche che questo è un isomorfismo di $F$-spazi vettoriali e che quindi manda $F$-basi in $F$-basi, fino a qui è tutto "chiaro". Quello che non mi è chiaro è come determinare quale sia questa base.
Facendo un esempio più concreto: sia $F = \mathbb{Q}$ e $E=F[\sqrt{2}]$, so che $(f_{\alpha}^{min}(x))=x^2-2$ e questo mi dice che $E$ ha dimensione $2$ come $F$-spazio vettoriale. Adesso mi pare di capire che $E$ abbia come base ${1, \alpha}$ perché ${1, x}$ è base di $(F[x])/((f_{\alpha}^{min}(x)))$ e il nostro isomorfismo $\bar \psi_{\alpha}$ manda basi in basi, ma per quale ragione ${1, x}$ è base di $(F[x])/((f_{\alpha}^{min}(x)))$?
Grazie mille in anticipo e scusate se sono stato forse troppo prolisso.
Inoltre; se qualcuno conosce qualche dispensa che tratti esattamente questo argomento potrebbe linkarmela? Quella che sto seguendo io a volte tende a saltare un po' troppi passaggi.
Sia $F \sub E=F[\alpha]$ un estensione di campi e sia $\alpha$ algebrico su $F$, so che $F[\alpha]=F(\alpha)$ è un campo poichè è isomorfo a $(F[x])/((f_{\alpha}^{min}(x)))$ (che è campo), dove $f_{\alpha}^{min}(x)$ è il polinomio minimo di $\alpha$ su $F$, chiamiamo $\bar \psi_{\alpha}: (F[x])/((f_{\alpha}^{min}(x))) \to F[\alpha]$ tale isomorfismo.
So anche che questo è un isomorfismo di $F$-spazi vettoriali e che quindi manda $F$-basi in $F$-basi, fino a qui è tutto "chiaro". Quello che non mi è chiaro è come determinare quale sia questa base.
Facendo un esempio più concreto: sia $F = \mathbb{Q}$ e $E=F[\sqrt{2}]$, so che $(f_{\alpha}^{min}(x))=x^2-2$ e questo mi dice che $E$ ha dimensione $2$ come $F$-spazio vettoriale. Adesso mi pare di capire che $E$ abbia come base ${1, \alpha}$ perché ${1, x}$ è base di $(F[x])/((f_{\alpha}^{min}(x)))$ e il nostro isomorfismo $\bar \psi_{\alpha}$ manda basi in basi, ma per quale ragione ${1, x}$ è base di $(F[x])/((f_{\alpha}^{min}(x)))$?
Grazie mille in anticipo e scusate se sono stato forse troppo prolisso.
Inoltre; se qualcuno conosce qualche dispensa che tratti esattamente questo argomento potrebbe linkarmela? Quella che sto seguendo io a volte tende a saltare un po' troppi passaggi.
Risposte
Una base si determina con le potenze successive delle radici che aggiungi; in molti casi le estensioni sono separabili (per esempio, tutte le estensioni di $\mathbb Q$ lo sono) e allora c'è un teorema che ti dice che puoi sempre trovare un elemento (detto primitivo click) tale per cui la tua estensione si ottiene aggiungendo quel singolo elemento al campo di base.
Adesso però allora è abbastanza facile determinare una base di $E$, è sufficiente prendere $1,\alpha,\alpha^2,...,\alpha^{n-1}$ fino al grado del polinomio minimo, che però ti dice che c'è una relazione lineare tra $\alpha^n$ e gli altri elementi (i combinatori sono esattamente i coefficienti del polinomio minimo). Il fatto che il polinomio sia il polinomio minimo ti assicura che questo è il primo caso in cui trovi combinazioni lineari non banali dei vari $\alpha^k$ in funzione degli $\{1,\alpha,\alpha^2,...,\alpha^{k-1}\}$.
Adesso però allora è abbastanza facile determinare una base di $E$, è sufficiente prendere $1,\alpha,\alpha^2,...,\alpha^{n-1}$ fino al grado del polinomio minimo, che però ti dice che c'è una relazione lineare tra $\alpha^n$ e gli altri elementi (i combinatori sono esattamente i coefficienti del polinomio minimo). Il fatto che il polinomio sia il polinomio minimo ti assicura che questo è il primo caso in cui trovi combinazioni lineari non banali dei vari $\alpha^k$ in funzione degli $\{1,\alpha,\alpha^2,...,\alpha^{k-1}\}$.
Perfetto, grazie mille. E' tutto chiaro ora.
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