Banalità sui monoidi

[valy1]

ma quando si parla di semigruppo o di monoidi , devo considerarli strutture algebriche chiuse?

[gugo82]

"valy":ma quando si parla di semigruppo o di monoidi , devo considerarli strutture algebriche chiuse?

Direi proprio di sì... che senso avrebbe considerare operazioni algebriche che non danno risultato?

[gugo82]

"Sergio":PS: Non sono sicuro che "chiuso" voglia dire "dà risultato", o che "non chiuso" voglia dire "non dà risultato". Esempio facile facile: ($NN,-)$, con $NN subset ZZ$, non è chiuso non perché $2-3$ non dà risultato, ma perché il risultato appartiene a $ZZ$ ma non a $NN$.

Infatti non ha senso chiedere quanto faccia $2-3$ in $NN$.
Ciò sta a dire che la sottrazione non è definita come operazione su tutto $NN^2$, ma solo sulle coppie $(n,m) in NN^2$ tali che $nge m$; come si suol dire, $-$ non dà risultato in $NN$ se il minuendo è minore del sottraendo.

Il fatto che esista un ampliamento di $NN$ in cui $-$ è globalmente definita non ci interessa quando definiamo la sottrazione in $NN$, anzi l'insieme $ZZ$ è costruito proprio per immergere il monoide abeliano $(NN,+)$ in un gruppo abeliano (in tal caso $(ZZ,+)$).

Ricordo per completezza la definizione di operazione binaria interna:

Si chiama operazione binaria interna ad un insieme $A$ ogni applicazione $f$ a valori in $A$ definita in un sottoinsieme non vuoto $D\subseteq A^2$; se $D=A^2$ allora si dice che $f$ è globalmente definita in $A$.

Quindi è proprio nella definizione stessa di operazione interna che viene richiesto di "dare risultato in $A$".

"Sergio":PS2: Se Gugo me la passa corro ad accattarmi un bel Canevel Cartizze per brindare

Spediscimi una bottiglia!

[Chevtchenko]

"Gugo82":[quote="valy"]ma quando si parla di semigruppo o di monoidi , devo considerarli strutture algebriche chiuse?

Direi proprio di sì... che senso avrebbe considerare operazioni algebriche che non danno risultato?[/quote]
Nota però che considerare strutture algebriche in cui le operazioni non sono definite ovunque è possibile (e lo si fa in algebra universale).

[Luca.Lussardi]

Cosa è l'Algebra universale?

[Chevtchenko]

"Luca.Lussardi":Cosa è l'Algebra universale?

E' la teoria generale delle strutture algebriche. Puoi consultare:
http://en.wikipedia.org/wiki/Universal_algebra
http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html