Banalità su coprimi

[mafantuz]

è corretto che in un dominio $ x $ e $ y $ sono coprimi sse hanno un divisore comune invertibile? in $ Z$$/nZ $ so che se $ a $ è coprimo con $ n $ allora (per bezout e passando poi a modulo n) $ a $ è invertibile. non riesco però ad agganciare le due cose. grazie per la pietà.

[SaraSueEss]

Vedo che hai le idee un po' confuse, cercherò di chiarire una cosa per volta.
(1) $x$ e $y$ si dicono $coprimi$ ( si scrive $(x, y) = 1$ ) $\Leftrightarrow$ non hanno nessun divisore comune tranne $1$ e $ -1$
(2) In $ZZ$ $/$ $nZZ$ tutti gli elementi $a$ tali che $(a, n) = 1$ sono invertibili rispetto alla moltiplicazione perchè, vista la loro coprimità con l'ordine del gruppo, risultano appartenere a $ZZ$ $/$ $nZZ$* che forma un gruppo col prodotto. ( $ZZ$ $/$ $nZZ$* è proprio il gruppo i cui elementi sono gli elementi invertibili di $ZZ$ $/$ $nZZ$ ).

[mafantuz]

mmhhh forse non ho scritto bene la domanda. nelle dispense di martino leggo "in $Z[sqrt(-2)]$ mostriamo che $ x+sqrt(-2) $ e $ x-sqrt(-2) $ sono coprimi. sia  $ alpha $ un divisore comune di $ x+sqrt(-2) $ e $ x-sqrt(-2) $. vogliamo mostrare che  $ alpha $ è invertibile in $Z[sqrt(-2)]$". chiedo:
1) è sempre vero che in un dominio $x$ e $y$ sono coprimi sse hanno un divisore comune invertibile?
2) se sì, come si dimostra?
grazie.

[SaraSueEss]

Ci troviamo in un anello di polinomi, quindi gli unici elementi invertibili sono le costanti. Qui vuole dire che $x + sqrt(-2)$ e $x - sqrt(-2)$ non hanno fattori in comune (quindi sono coprimi) in quanto posto $\alpha$ un divisore comune esso si rivela essere invertibile (e quindi una costante).