Baker-Campbell-Hausdorff (domanda da ingegnere)
Ciao,
scusate se disturbo in una sezione sicuramente più preparata della domanda che vorrei porvi, tuttavia sono uno studente al terzo anno di ingengeria fisica e affrontando la MQ c'è una foruma utile che è stata introdotta dal prof ma che non ho capito bene.
Il punto è la mappa esponenziale "exp" che va da $mathfrakg≡T_eG->G$, la quale ci è stata introdotta come la mappa che preso il vettore $X=0$ del piano tangente (che è la mia algebra di Lie) costruisce il campo L-invariante $X'=0$ e il flusso che ne corrisponde $phi_t(e)=e$ con e= identità del gruppo è il mio exp.
Detto questo io so che esp è la mappa da:
$(T_eG,+,[,])->(G,*)$
quindi mi aspetto che dovrei avere, dati due vettori tangenti X,Y in $mathfrakg$ (cioè il mio piano tangente in questo caso)
$X+Y -> exp(X+Y)$
Per questa mappa non vale $exp(X+Y)=exp(X)*exp(Y)$ come "spererei".
A questo punto il prof ha introdotto il teroema del titolo:
Ma io non capisco questa scrittura: se io parto dalla somma di due vettori ho la mappa $X+Y -> exp(X+Y)$ come dicevo, (preimmagine)->(immagine) che cosa diamine vuol dire $exp(X)*exp(Y ) = exp(X + Y + 1/2 [X, Y ] + 1/2 ([X, [X, Y ]] − [Y, [X, Y ]]) + ...)$?
è come se dicessi $X+Y -> exp(X)*exp(Y):= exp(X + Y + 1/2 [X, Y ] + 1/2 ([X, [X, Y ]] − [Y, [X, Y ]]) + ...)$? ma mi pare insensato, è come se dicessi che applicare exp a X+Y mi dà come immagine l'applicazione della mappa alla somma $X + Y + 1/2 [X, Y ]$ (*), ma quindi la preimmagine sarebbe (*) e non più X+Y.
D'altra parte non è memmeno $X+Y -> exp(X+Y):= exp(X + Y + 1/2 [X, Y ] + 1/2 ([X, [X, Y ]] − [Y, [X, Y ]]) + ...)$ perché di nuovo non avrebbe senso.
Insomma, credo di essermi perso in un bicchier d'acqua ma non comprendo quella notazione e cosa voglia dire.Vi chiedo una manina anche se stupido
scusate se disturbo in una sezione sicuramente più preparata della domanda che vorrei porvi, tuttavia sono uno studente al terzo anno di ingengeria fisica e affrontando la MQ c'è una foruma utile che è stata introdotta dal prof ma che non ho capito bene.
Il punto è la mappa esponenziale "exp" che va da $mathfrakg≡T_eG->G$, la quale ci è stata introdotta come la mappa che preso il vettore $X=0$ del piano tangente (che è la mia algebra di Lie) costruisce il campo L-invariante $X'=0$ e il flusso che ne corrisponde $phi_t(e)=e$ con e= identità del gruppo è il mio exp.
Detto questo io so che esp è la mappa da:
$(T_eG,+,[,])->(G,*)$
quindi mi aspetto che dovrei avere, dati due vettori tangenti X,Y in $mathfrakg$ (cioè il mio piano tangente in questo caso)
$X+Y -> exp(X+Y)$
Per questa mappa non vale $exp(X+Y)=exp(X)*exp(Y)$ come "spererei".
A questo punto il prof ha introdotto il teroema del titolo:
Sia G un gruppo di Lie e $X, Y ∈mathfrakg$. Allora
$exp(X)*exp(Y ) = exp(X + Y + 1/2 [X, Y ] + 1/2 ([X, [X, Y ]] − [Y, [X, Y ]]) + ...)$
Ma io non capisco questa scrittura: se io parto dalla somma di due vettori ho la mappa $X+Y -> exp(X+Y)$ come dicevo, (preimmagine)->(immagine) che cosa diamine vuol dire $exp(X)*exp(Y ) = exp(X + Y + 1/2 [X, Y ] + 1/2 ([X, [X, Y ]] − [Y, [X, Y ]]) + ...)$?
è come se dicessi $X+Y -> exp(X)*exp(Y):= exp(X + Y + 1/2 [X, Y ] + 1/2 ([X, [X, Y ]] − [Y, [X, Y ]]) + ...)$? ma mi pare insensato, è come se dicessi che applicare exp a X+Y mi dà come immagine l'applicazione della mappa alla somma $X + Y + 1/2 [X, Y ]$ (*), ma quindi la preimmagine sarebbe (*) e non più X+Y.
D'altra parte non è memmeno $X+Y -> exp(X+Y):= exp(X + Y + 1/2 [X, Y ] + 1/2 ([X, [X, Y ]] − [Y, [X, Y ]]) + ...)$ perché di nuovo non avrebbe senso.
Insomma, credo di essermi perso in un bicchier d'acqua ma non comprendo quella notazione e cosa voglia dire.Vi chiedo una manina anche se stupido
Risposte
A cosa non riesci a dare un senso?
Semplicemente al teorema cosa mi serva sulla mappa, intendo dire:
io ho $X+Y->exp(X+Y)$ e il teorema mi dice che $exp(X)*exp(Y)=exp(X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+...)$
ma io ho $exp(X+Y)$, non capisco cosa mi serva $exp(X)*exp(Y)$, dato che non è vero che $exp(X+Y)=exp(X)*exp(Y)$, insomma non ho capito proprio il senso del risultato sulla mappa che ho.
Non capisco se vuole dirmi: $X+Y->exp(X)*exp(Y):=exp(X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+...)$ ma non mi pare sensato.
io ho $X+Y->exp(X+Y)$ e il teorema mi dice che $exp(X)*exp(Y)=exp(X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+...)$
ma io ho $exp(X+Y)$, non capisco cosa mi serva $exp(X)*exp(Y)$, dato che non è vero che $exp(X+Y)=exp(X)*exp(Y)$, insomma non ho capito proprio il senso del risultato sulla mappa che ho.
Non capisco se vuole dirmi: $X+Y->exp(X)*exp(Y):=exp(X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+...)$ ma non mi pare sensato.
Ma non sta semplicemente deicendo che: se tu vuoi l'operazione tra due elementi del gruppo $A$ e $B$ siccome sai che puoi mapparli come $exp(X)=A$ e $exp(Y)=B$ vorresti vedere quanto fa la moltiplicazione gruppale:
$A*B:=exp(A)*exp(B)$ ergo per il teorema suddetto hai che
$exp(A)*exp(B)=exp(X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+...)$
Quindi vista come vuoi vederla tu avresti che X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+... è mappato come:
$X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+...->exp(X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+...)=$
$=exp(X)*exp(Y)=A*B$
Insomma non stai cercando la controimmagine dell'elemento X+Y della $exp(X+Y)$, ma la controimmagine $exp^-1(X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+...)!=X+Y$
Però lascio la parola @megas_archon che è sicuramente più preparato di me
$A*B:=exp(A)*exp(B)$ ergo per il teorema suddetto hai che
$exp(A)*exp(B)=exp(X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+...)$
Quindi vista come vuoi vederla tu avresti che X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+... è mappato come:
$X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+...->exp(X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+...)=$
$=exp(X)*exp(Y)=A*B$
Insomma non stai cercando la controimmagine dell'elemento X+Y della $exp(X+Y)$, ma la controimmagine $exp^-1(X+Y+1/2[X,Y]+1/2([X,[X,Y]]−[Y,[X,Y]])+...)!=X+Y$
Però lascio la parola @megas_archon che è sicuramente più preparato di me
Sì, non capisco cosa tu intenda con \(X+Y\to \exp(X+Y)\).
Fallo nel caso \(G = GL(n,K)\); allora ovviamente \(\mathfrak g = M(n,K)\) dove la struttura di algebra di Lie è data dal commutatore di matrici, \([A,B]:=AB-BA\). Con ciò, non è vero che \(e^{A+B}=e^Ae^B\), e l'ostruzione è interamente nel fatto che \(A,B\) possono non commutare. Se prendi A,B tali che \([A,B]\ne 0\), infatti, da un lato puoi calcolare \(\); dall'altro puoi calcolare \(\), e questi due sono diversi, ma sono diversi in maniera che puoi misurare: infatti \(e^Ae^B=\exp\left(A+B+\sum_{k=1}^\infty c_k(A,B)\right)\) dove \(c_k(A,B)\) è un'espressione che coinvolge i commutatori iterati di \(A,B,[A,B]\) a "profondità" $k$:
- \(2c_1(A,B)=[A,B]\)
- \(12c_2(A,B)=[A,[A,B]]-[B,[A,B]]\)
- \(24c_3(A,B)=...\)
Fallo nel caso \(G = GL(n,K)\); allora ovviamente \(\mathfrak g = M(n,K)\) dove la struttura di algebra di Lie è data dal commutatore di matrici, \([A,B]:=AB-BA\). Con ciò, non è vero che \(e^{A+B}=e^Ae^B\), e l'ostruzione è interamente nel fatto che \(A,B\) possono non commutare. Se prendi A,B tali che \([A,B]\ne 0\), infatti, da un lato puoi calcolare \(\); dall'altro puoi calcolare \(\), e questi due sono diversi, ma sono diversi in maniera che puoi misurare: infatti \(e^Ae^B=\exp\left(A+B+\sum_{k=1}^\infty c_k(A,B)\right)\) dove \(c_k(A,B)\) è un'espressione che coinvolge i commutatori iterati di \(A,B,[A,B]\) a "profondità" $k$:
- \(2c_1(A,B)=[A,B]\)
- \(12c_2(A,B)=[A,[A,B]]-[B,[A,B]]\)
- \(24c_3(A,B)=...\)
"megas_archon":Ok, forse devo chiarire questo fatto.
Sì, non capisco cosa tu intenda con \(X+Y\to \exp(X+Y)\).
A noi è stato definito l'exp come:
la mappa esponenziale "exp" che va da $mathfrakg≡T_eG->G$, la quale ci è stata introdotta come la mappa che preso il vettore $X=0$ del piano tangente (che è la mia algebra di Lie) costruisce il campo L-invariante $X'=0$ e il flusso che ne corrisponde $phi_t(e)=e$ con e= identità del gruppo è il mio exp.quindi io ho questa mappa, ora a me interessa mandare g in TeG (detto in malo modo), e quindi a me interessa
$exp: mathfrakg≡T_eG->G$ t.c.
\(X+Y\to \exp(X+Y)\).
Quindi mi pare che sia di mio interesse capire di quanto questo risultato differisca da $exp(X+Y)!=exp(X)*exp(Y)$
invece il teorema mi dice $exp(X)*exp(Y ) = exp(X + Y + 1/2 [X, Y ] + 1/2 ([X, [X, Y ]] − [Y, [X, Y ]]) + ...)$ e non capisco bene che farmene come risultato.
Perché, come dicevo, a me interessa \(X+Y\to \exp(X+Y)\), che ovviamene nulla c'entra con \(X+Y\to \exp(X)*exp(Y)\). E' in questo che mi perdo
Il fatto è che quel teorema non ti sta dicendo niente su $exp(X+Y)$. Ti sta dicendo qualcosa su $exp(X)*exp(Y)$.
Ok, quindi era un po' quello che diceva casorzo mi pare?
Mi ero perso in un biccher d'acqua.
Grazie, Martino.
Mi ero perso in un biccher d'acqua.
Grazie, Martino.
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