Azioni di $SL(3,2)$ sul proiettivo

[glooo1]

Avrei bisogno di una chiarificazione!
Sia $G=SL(3,2)$ il gruppo delle matrici invertibili di ordine $3$ sul campo di due elementi.
So che un insieme di generatori per $G$ è dato da: $ \alpha=( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ , $ \beta=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0, 1 , 0 ) ) $ , $\gamma= ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $.

Ora ho due azioni di $G$ su $S={1,...,7}$.
La prima è definita così:

$\alpha \mapsto \bar{\alpha}=(73)(62)$,
$\beta\mapsto \bar{\beta}=(35)(24)$,
$\gamma\mapsto \bar{\gamma}=(56)(21)$
La seconda è definita così:


$\alpha\mapsto \bar{\alpha}=(46)(57)$,
$\beta\mapsto \bar{\beta}=(24)(53)$,
$\gamma\mapsto \bar{\gamma}=(12)(65)$

é vero che la prima azione è l'azione transitiva di $G$ sui sette punti del proiettivo su $F_2$ e la seconda è l'azione transitia di $G$ sulle sette rette del proiettivo su $F_2$? Per fare vedere questo basta esibire una biezione tra $S$ e l' insieme dei punti del proittivo e una biezione tra $S$ e le sette linee, numerando i punti e le linee? Questa cosa non mi è molto chiara...

Grazie davvero per l'aiuto.

[Stickelberger]

I sottogruppi di $S_7$ che sono isomorfi a $SL_3(F_2)$, sono coniugati fra loro.

Le tue due azioni sono quindi, a meno della scelta dei numeri, le stesse.

Forse va anche detto che lo spazio delle rette in $P_2$
e’ anche uno spazio proiettivo $P_2$.
Agire su punti o su rette cambia quindi poco.

Ecco la biiezione fra i sette punti di $P_2(F_2)$ e l’insieme
$\{1,2,3,4,5,6,7\}$ che e’ stata usata per la prima azione.

Le tre matrici $\alpha,\beta,\gamma$ hanno sempre un autovalore $\lambda=1$
con autospazio di dimensione $2$. Questo vuol dire che sia $\alpha$
che $\beta$ che $\gamma$ fissa una retta in $P_2$. Si tratta delle rette
di equazione $X=Z$, $Y=Z$ e $Y=0$ rispettivamente.

Sul campo $F_2$ ogni retta ha tre punti. Considerando i punti
fissi delle permutazioni $\bar{\alpha}$, $\bar{\beta}$ e $\bar{\gamma}$, vediamo che

i punti della retta $X=Z$ sono $\{1,4,5\}$,
i punti della retta $Y=Z$ sono $\{1,6,7\}$,
i punti della retta $Y=0$ sono $\{3,4,7\}$.

Questo implica che i punti di $P_2(F_2)$ corrispondono
ai numeri in $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ nel seguente modo:

$(1:0:0) \leftrightarrow 7$,
$(1:0:1) \leftrightarrow 4$,
$(1:1:1) \leftrightarrow 1$.

I punti rimasti sulle tre rette sono

$(0:0:1) \leftrightarrow 3$,
$(0:1:0) \leftrightarrow 5$,
$(0:1:1) \leftrightarrow 6$.

L’unico punto mancante e’ per forza

$(1:1:0) \leftrightarrow 2$.

Per la seconda azione si puo’ fare un calcolo simile.

[glooo1]

Grazie mille davvero!!!