Azione triviale
Sia \( G \) un gruppo che agisce su un insieme \(X \) e sia \(Y \) un insieme qualunque, sia \( X^G \) l'insieme dei punti fissi e \( \operatorname{Triv}_G(Y) \) l'azione triviale di \(G \) su \( Y \).
Dimostra che
\[ \mathcal{F}(Y,X^{G}) \cong \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \]
Dove \( \mathcal{F}(A,B) \) è l'insieme delle applicazioni \(f: A \to B \) mentre \( \mathcal{F}_G(A,B) \) è l'insieme delle applicazioni \(G\)-equivarianti, \(f: A \to B \)
Io farei così ma mi confondo abbastanza sulle notazioni nel finale, quindi vi chiederei gentilmente di correggermi se sbaglio.
Definiamo \( \alpha : \mathcal{F}(Y,X^{G}) \to \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \), e sia \( f : Y \to X^G \) un'applicazione da \(Y \) verso l'insieme dei punti fissi \(X^G \), \( \alpha \) definita come
\[ \mathcal{F}(Y,X^G) \ni f \mapsto \alpha(f):=f \in \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \]
con \(y \in Y \).
Dimostriamo che effettivamente \( \alpha(f) \) è \(G\)-equivariante. Siccome per ogni \( g \in G \) e per ogni \( y \in Y \) abbiamo che \( f(y) \in X^G \) risulta che
\[ \alpha(f)(g \cdot y) = \alpha (f) (y) = f(y) = g \cdot f(y) = g \cdot \alpha(f)(y) \]
-Dove la prima uguaglianza risulta dal fatto che \( G \) agisce trivialmente su \(Y \) e pertanto \( g \cdot y= y \), \( \forall g \in G, \forall y \in Y \).
- La seconda uguaglianza deriva dalla definizione di \( \alpha \)
- La terza uguaglianza dal fatto che \( f(y) \in X^G \) e pertanto \( g \cdot x = x \) per ogni \( x \in X^G \).
Definiamo l'applicazione \( \beta : \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \to \mathcal{F}(Y,X^{G}) \), e mostriamo che è l'applicazione inversa. Dove \( f_G : \operatorname{Triv}_G(Y) \to X \)
\( \beta \) è definita come segue
\[ \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \ni f_G \mapsto \beta(f_G) = f_G \in \mathcal{F}(Y,X^{G}) \]
Abbiamo pertanto che \( \forall g,h \in G \) e \( y \), siccome \( G \) agisce trivialmente su \( Y \) risulta che \( f_G : Y\to X \) pertanto \( g \cdot f_G(y)= f_G(g \cdot y) = f_G(y) \)
- Dove la prima uguaglianza viene dal fatto che \( f_G \) è \( G \)-equivariante
- La seconda uguaglianza viene dal fatto che \( G \) agisce trivialmente su \( Y \).
Dunque per ogni \( g \in G \) e per ogni \( y \in Y \) risulta che \( f(y) \in X^G \).
Verifichiamo ora che \( \alpha \circ \beta = \operatorname{id}_{\mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X)} \) e che \( \beta \circ \alpha = \operatorname{id}_{\mathcal{F}(Y, X^G)} \)
Prendiamo dunque \( y \in \operatorname{Triv}_G(Y)= Y \), e prendiamo \( f_G \in \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \), risulta che
\[ \alpha(\beta(f_G(y)))= \alpha(f_G(y)) = f_G(y) \]
Ora qui mi confondo parecchio perché inizialmente ho preso \( f_G \in \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \) però poi la prima uguaglianza deriva dalla definizione di \( \beta \) considero lo stesso oggetto come \( f_G \in \mathcal{F}(Y,X^G) \) e poi nuovamente la seconda uguaglianza ottenuta dalla definizione di \( \alpha \) ottengo che \( f_G \in \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \) e mi confonde un sacco questa cosa.
In modo analogo per dimostrare che \( \beta \circ \alpha = \operatorname{id}_{\mathcal{F}(Y, X^G)} \) prendo \( f \in \mathcal{F}(Y,X^G ) \) e \( y \in Y \) e ottengo
\[ \beta(\alpha(f(y)))= \beta(f(y)) = f(y) \]
E analogamente al caso precedente ottengo che lo stesso oggetto lo interpeto diversamente a seconda di quale funzione sia argomento...
Dimostra che
\[ \mathcal{F}(Y,X^{G}) \cong \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \]
Dove \( \mathcal{F}(A,B) \) è l'insieme delle applicazioni \(f: A \to B \) mentre \( \mathcal{F}_G(A,B) \) è l'insieme delle applicazioni \(G\)-equivarianti, \(f: A \to B \)
Io farei così ma mi confondo abbastanza sulle notazioni nel finale, quindi vi chiederei gentilmente di correggermi se sbaglio.
Definiamo \( \alpha : \mathcal{F}(Y,X^{G}) \to \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \), e sia \( f : Y \to X^G \) un'applicazione da \(Y \) verso l'insieme dei punti fissi \(X^G \), \( \alpha \) definita come
\[ \mathcal{F}(Y,X^G) \ni f \mapsto \alpha(f):=f \in \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \]
con \(y \in Y \).
Dimostriamo che effettivamente \( \alpha(f) \) è \(G\)-equivariante. Siccome per ogni \( g \in G \) e per ogni \( y \in Y \) abbiamo che \( f(y) \in X^G \) risulta che
\[ \alpha(f)(g \cdot y) = \alpha (f) (y) = f(y) = g \cdot f(y) = g \cdot \alpha(f)(y) \]
-Dove la prima uguaglianza risulta dal fatto che \( G \) agisce trivialmente su \(Y \) e pertanto \( g \cdot y= y \), \( \forall g \in G, \forall y \in Y \).
- La seconda uguaglianza deriva dalla definizione di \( \alpha \)
- La terza uguaglianza dal fatto che \( f(y) \in X^G \) e pertanto \( g \cdot x = x \) per ogni \( x \in X^G \).
Definiamo l'applicazione \( \beta : \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \to \mathcal{F}(Y,X^{G}) \), e mostriamo che è l'applicazione inversa. Dove \( f_G : \operatorname{Triv}_G(Y) \to X \)
\( \beta \) è definita come segue
\[ \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \ni f_G \mapsto \beta(f_G) = f_G \in \mathcal{F}(Y,X^{G}) \]
Abbiamo pertanto che \( \forall g,h \in G \) e \( y \), siccome \( G \) agisce trivialmente su \( Y \) risulta che \( f_G : Y\to X \) pertanto \( g \cdot f_G(y)= f_G(g \cdot y) = f_G(y) \)
- Dove la prima uguaglianza viene dal fatto che \( f_G \) è \( G \)-equivariante
- La seconda uguaglianza viene dal fatto che \( G \) agisce trivialmente su \( Y \).
Dunque per ogni \( g \in G \) e per ogni \( y \in Y \) risulta che \( f(y) \in X^G \).
Verifichiamo ora che \( \alpha \circ \beta = \operatorname{id}_{\mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X)} \) e che \( \beta \circ \alpha = \operatorname{id}_{\mathcal{F}(Y, X^G)} \)
Prendiamo dunque \( y \in \operatorname{Triv}_G(Y)= Y \), e prendiamo \( f_G \in \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \), risulta che
\[ \alpha(\beta(f_G(y)))= \alpha(f_G(y)) = f_G(y) \]
Ora qui mi confondo parecchio perché inizialmente ho preso \( f_G \in \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \) però poi la prima uguaglianza deriva dalla definizione di \( \beta \) considero lo stesso oggetto come \( f_G \in \mathcal{F}(Y,X^G) \) e poi nuovamente la seconda uguaglianza ottenuta dalla definizione di \( \alpha \) ottengo che \( f_G \in \mathcal{F}_G(\operatorname{Triv}_G(Y) , X) \) e mi confonde un sacco questa cosa.
In modo analogo per dimostrare che \( \beta \circ \alpha = \operatorname{id}_{\mathcal{F}(Y, X^G)} \) prendo \( f \in \mathcal{F}(Y,X^G ) \) e \( y \in Y \) e ottengo
\[ \beta(\alpha(f(y)))= \beta(f(y)) = f(y) \]
E analogamente al caso precedente ottengo che lo stesso oggetto lo interpeto diversamente a seconda di quale funzione sia argomento...
Risposte
"3m0o":Ciao, scrivere
\[ \alpha(\beta(f_G(y)))= \alpha(f_G(y)) = f_G(y) \]
\[ \beta(\alpha(f(y)))= \beta(f(y)) = f(y) \]
$alpha(beta(f_G(y)))$
non ha senso, bisogna scrivere
$alpha(beta(f_G))(y)$,
e analogamente nell'altro caso.
Hai ragione, ma il mio problema rimane
\[ \alpha(\beta(f_G))(y) = \alpha(f_G)(y)=f_G(y) \]
Cioé inizialmente considero \( f_G \in \mathcal{F}_G(Y,X)\), poi considero \( f_G \in \mathcal{F}(Y,X^G) \), poi nuovamente in \( \mathcal{F}_G(Y,X) \).
Edit: o devo considerare sempre \( f_G \in \mathcal{F}_G(Y,X) \) e \( \beta(f_G) \mathcal{F}(Y,X^G) \) e il passaggio \( \alpha(\beta(f_G))(y) = \alpha(f_G)(y) \) non ha senso?
Il fatto è che mi sembra che già \( \alpha \) e \( \beta \) siano "le identità" \( \alpha(f)=f \) solo che \( f \) ha significati differenti a dipendenza se sia ad argomento o no. Quando scrivo \( \alpha(f) \) considero \( f \in \mathcal{F}(Y,X^G) \) mentre la \( f \) a destra dell'uguale la considero facente parte di \( \mathcal{F}_G(Y,X) \).
Sarebbe più giusto scrivere \( \alpha(f)=f_G \) e \( \beta(f_G) = f \) ?
\[ \alpha(\beta(f_G))(y) = \alpha(f_G)(y)=f_G(y) \]
Cioé inizialmente considero \( f_G \in \mathcal{F}_G(Y,X)\), poi considero \( f_G \in \mathcal{F}(Y,X^G) \), poi nuovamente in \( \mathcal{F}_G(Y,X) \).
Edit: o devo considerare sempre \( f_G \in \mathcal{F}_G(Y,X) \) e \( \beta(f_G) \mathcal{F}(Y,X^G) \) e il passaggio \( \alpha(\beta(f_G))(y) = \alpha(f_G)(y) \) non ha senso?
Il fatto è che mi sembra che già \( \alpha \) e \( \beta \) siano "le identità" \( \alpha(f)=f \) solo che \( f \) ha significati differenti a dipendenza se sia ad argomento o no. Quando scrivo \( \alpha(f) \) considero \( f \in \mathcal{F}(Y,X^G) \) mentre la \( f \) a destra dell'uguale la considero facente parte di \( \mathcal{F}_G(Y,X) \).
Sarebbe più giusto scrivere \( \alpha(f)=f_G \) e \( \beta(f_G) = f \) ?
Guarda che le cose sono molto più semplici e non c'è bisogno di introdurre tutta questa notazione, e nemmeno di fare considerazioni filosofiche.
La definizione di $alpha$ è
$alpha(f)(y) = f(y)$
La definizione di $beta$ è
$beta(f)(y) = f(y)$
Quindi
$alpha(beta(f))(y) = beta(f)(y) = f(y)$
$beta(alpha(f))(y) = alpha(f)(y) = f(y)$
Quindi
$alpha(beta(f))=f$
$beta(alpha(f))=f$
La definizione di $alpha$ è
$alpha(f)(y) = f(y)$
La definizione di $beta$ è
$beta(f)(y) = f(y)$
Quindi
$alpha(beta(f))(y) = beta(f)(y) = f(y)$
$beta(alpha(f))(y) = alpha(f)(y) = f(y)$
Quindi
$alpha(beta(f))=f$
$beta(alpha(f))=f$
Ma non capisco. Nel senso dalla definizione di \( \alpha \) direi che \( \alpha \) è l'identità perché se \( \forall y \in Y \) abbiamo che \( \alpha(f)(y)=f(y) \) vuol dire che \( \alpha(f) = f \), però \( f : Y \to X^G \) mentre \( \alpha(f) : Y \to X \).
Discorso analogo per \( \beta \).
E quindi non so come interpretare \( \alpha(\beta(f)) \)
Discorso analogo per \( \beta \).
E quindi non so come interpretare \( \alpha(\beta(f)) \)
Una funzione $f$ è un oggetto composto da tre cose.
Dominio $A$
Codominio $B$
La "legge" che determina $f$, cioè un sottoinsieme $F$ del prodotto cartesiano $A xx B$ con le usuali proprietà. Invece di scrivere $(x,y) in F$ scriviamo $f(x)=y$.
Una funzione $f:X to Y$ è detta essere "l'identità" se vale la cosa seguente:
$X=Y$ e $f(x)=x$ per ogni $x in X$.
Bene, ora che ci siamo capiti su questo, pensiamo ai tuoi $alpha$ e $beta$.
$alpha$ non è l'identità.
$beta$ non è l'identità.
Perché? Perché il dominio e il codominio di $alpha$ sono diversi tra loro. E lo stesso per $beta$.
Perché una funzione sia l'identità è assolutamente necessario che dominio e codominio siano uguali!
Quindi puoi toglierti dalla testa che $alpha$ e $beta$ siano l'identità.
Il dominio di $alpha$ è $F(Y,X^G)$, l'insieme delle funzioni $Y to X^G$.
Il codominio di $alpha$ è l'insieme delle funzioni $G$-equivarianti $Triv_G(Y) to X$, che hai indicato con $F_G(Triv_G(Y),X)$.
Quindi non sono uguali, concordi?
Il dominio di $beta$ è l'insieme delle funzioni $G$-equivarianti $Triv_G(Y) to X$, che hai indicato con $F_G(Triv_G(Y),X)$.
Il codominio di $beta$ è $F(Y,X^G)$, l'insieme delle funzioni $Y to X^G$.
Quindi non sono uguali, concordi?
Ora definiamo $alpha$ e $beta$ per bene.
Ricordiamo che $Triv_G(Y)$ è proprio $Y$, dotato dell'azione banale di $G$.
DEFINIZIONE DI $alpha$
(Dominio e Codominio) $alpha:F(Y,X^G) to F_G(Triv_G(Y),X)$,
(Legge) $alpha(f)(y)=f(y)$ per ogni $y in Triv_G(Y)$.
DEFINIZIONE DI $beta$
(Dominio e Codominio) $beta:F_G(Triv_G(Y),X) to F(Y,X^G)$,
(Legge) $beta(f)(y)=f(y)$ per ogni $y in Y$.
Osserva che non ho scritto da nessuna parte $alpha(f)=f$ e nemmeno $beta(f)=f$, sarebbe sbagliato. Quello che definisce una funzione, oltre alla sua legge, sono il suo dominio e il suo codominio!
Data $f in F(Y,X^G)$, abbiamo che $alpha(f)$ non è uguale a $f$ (in generale).
Dimostrazione: il codominio di $alpha(f)$ è $X$ mentre il codominio di $f$ è $X^G$.
Data $f in F_G(Triv_G(Y),X)$, abbiamo che $beta(f)$ non è uguale a $f$ (in generale).
Dimostrazione: il codominio di $beta(f)$ è $X^G$ mentre il codominio di $f$ è $X$.
Due funzioni sono uguali se e solo se lo sono dominio, codominio e legge che definisce la funzione.
Dominio $A$
Codominio $B$
La "legge" che determina $f$, cioè un sottoinsieme $F$ del prodotto cartesiano $A xx B$ con le usuali proprietà. Invece di scrivere $(x,y) in F$ scriviamo $f(x)=y$.
Una funzione $f:X to Y$ è detta essere "l'identità" se vale la cosa seguente:
$X=Y$ e $f(x)=x$ per ogni $x in X$.
Bene, ora che ci siamo capiti su questo, pensiamo ai tuoi $alpha$ e $beta$.
$alpha$ non è l'identità.
$beta$ non è l'identità.
Perché? Perché il dominio e il codominio di $alpha$ sono diversi tra loro. E lo stesso per $beta$.
Perché una funzione sia l'identità è assolutamente necessario che dominio e codominio siano uguali!
Quindi puoi toglierti dalla testa che $alpha$ e $beta$ siano l'identità.
Il dominio di $alpha$ è $F(Y,X^G)$, l'insieme delle funzioni $Y to X^G$.
Il codominio di $alpha$ è l'insieme delle funzioni $G$-equivarianti $Triv_G(Y) to X$, che hai indicato con $F_G(Triv_G(Y),X)$.
Quindi non sono uguali, concordi?
Il dominio di $beta$ è l'insieme delle funzioni $G$-equivarianti $Triv_G(Y) to X$, che hai indicato con $F_G(Triv_G(Y),X)$.
Il codominio di $beta$ è $F(Y,X^G)$, l'insieme delle funzioni $Y to X^G$.
Quindi non sono uguali, concordi?
Ora definiamo $alpha$ e $beta$ per bene.
Ricordiamo che $Triv_G(Y)$ è proprio $Y$, dotato dell'azione banale di $G$.
DEFINIZIONE DI $alpha$
(Dominio e Codominio) $alpha:F(Y,X^G) to F_G(Triv_G(Y),X)$,
(Legge) $alpha(f)(y)=f(y)$ per ogni $y in Triv_G(Y)$.
DEFINIZIONE DI $beta$
(Dominio e Codominio) $beta:F_G(Triv_G(Y),X) to F(Y,X^G)$,
(Legge) $beta(f)(y)=f(y)$ per ogni $y in Y$.
Osserva che non ho scritto da nessuna parte $alpha(f)=f$ e nemmeno $beta(f)=f$, sarebbe sbagliato. Quello che definisce una funzione, oltre alla sua legge, sono il suo dominio e il suo codominio!
Data $f in F(Y,X^G)$, abbiamo che $alpha(f)$ non è uguale a $f$ (in generale).
Dimostrazione: il codominio di $alpha(f)$ è $X$ mentre il codominio di $f$ è $X^G$.
Data $f in F_G(Triv_G(Y),X)$, abbiamo che $beta(f)$ non è uguale a $f$ (in generale).
Dimostrazione: il codominio di $beta(f)$ è $X^G$ mentre il codominio di $f$ è $X$.
Due funzioni sono uguali se e solo se lo sono dominio, codominio e legge che definisce la funzione.
Ciao innanzitutto grazie mille, non hai dato nulla per scontato nella tua spiegazione.
Siccome la legge di \( \alpha \) è definita come la legge di \( f \), allora se \( \alpha(f) \) è \(G\)-equivariante rende automaticamente \(f \) \(G\)-equivariante, no? Siccome \( Triv_G(Y) \) è indentificato con \(Y \).
Avendo \(f : Y \to X^G \subseteq X \), e \( \alpha(f) : Y \to X \)
\( \alpha(f) \) è \(G\)-equivariante poiché \( \alpha(f)(g \cdot y) = g \cdot \alpha(f)(y) \).
Allora abbiamo anche che \( f(g \cdot y) = f(y)= g \cdot f(y) \), dove la prima uguaglianza deriva dal fatto che \( G \) agisce trivialmente su \( Y \) e la seconda deriva dal fatto che \( f(y) \in X^G \). Pertanto il fatto che \( f \in \mathcal{F}(Y,X^G) \) allora rende \( f \in \mathcal{F}_G(Y,X) \).
"Moralmente" \(f \) fa parte di entrambi gli spazi. Okay non sono la stessa funzione poiché potremmo perder suriettività vedendo la \( f \in \mathcal{F}(Y,X^G ) \) come \( f \in \mathcal{F}_G(Y,X ) \).
Ma sostanzialmente \( \operatorname{Im}(f)= \operatorname{Im}(\alpha(f)) \subseteq X^G\).
Quello che cerco di dire in modo un po' confuso è che se \( f : Y \to X^G \) allora \( f \) è \(G\)-equivariante se muniamo \( Y \) dell'azione triviale di \(G \).
E viceversa se \( f : Y \to X \) è \(G\)-equivariante, allora \( \operatorname{Im}(f) \subseteq X^G \).
Quindi per verificare che \( \alpha \circ \beta = id \) la seguente scrittura è corretta?
\( f : Y \to X \xrightarrow[]{\beta} \beta(f) : Y \to X^G \xrightarrow[]{\alpha} \alpha(\beta(f)): Y \to X\)
Devo pertanto mostrare che \( f = \alpha(\beta(f)) \).
Abbiamo che \( \alpha(\beta(f))(y)=\beta(f)(y) \)
e abbiamo che \( \beta(f)(y) = f(y) \). Dunque
\( \alpha(\beta(f))(y)=\beta(f)(y) = f(y) \). E siccome è verificato per ogni \( y \in Y \) e per ogni \( f \in \mathcal{F}(Y,X) \) (e poiché dominio e codominio di \( f \) coincidono con quelli di \( \alpha(\beta(f)) \) ) abbiamo che \( \alpha \circ \beta = id \).
Siccome la legge di \( \alpha \) è definita come la legge di \( f \), allora se \( \alpha(f) \) è \(G\)-equivariante rende automaticamente \(f \) \(G\)-equivariante, no? Siccome \( Triv_G(Y) \) è indentificato con \(Y \).
Avendo \(f : Y \to X^G \subseteq X \), e \( \alpha(f) : Y \to X \)
\( \alpha(f) \) è \(G\)-equivariante poiché \( \alpha(f)(g \cdot y) = g \cdot \alpha(f)(y) \).
Allora abbiamo anche che \( f(g \cdot y) = f(y)= g \cdot f(y) \), dove la prima uguaglianza deriva dal fatto che \( G \) agisce trivialmente su \( Y \) e la seconda deriva dal fatto che \( f(y) \in X^G \). Pertanto il fatto che \( f \in \mathcal{F}(Y,X^G) \) allora rende \( f \in \mathcal{F}_G(Y,X) \).
"Moralmente" \(f \) fa parte di entrambi gli spazi. Okay non sono la stessa funzione poiché potremmo perder suriettività vedendo la \( f \in \mathcal{F}(Y,X^G ) \) come \( f \in \mathcal{F}_G(Y,X ) \).
Ma sostanzialmente \( \operatorname{Im}(f)= \operatorname{Im}(\alpha(f)) \subseteq X^G\).
Quello che cerco di dire in modo un po' confuso è che se \( f : Y \to X^G \) allora \( f \) è \(G\)-equivariante se muniamo \( Y \) dell'azione triviale di \(G \).
E viceversa se \( f : Y \to X \) è \(G\)-equivariante, allora \( \operatorname{Im}(f) \subseteq X^G \).
Quindi per verificare che \( \alpha \circ \beta = id \) la seguente scrittura è corretta?
\( f : Y \to X \xrightarrow[]{\beta} \beta(f) : Y \to X^G \xrightarrow[]{\alpha} \alpha(\beta(f)): Y \to X\)
Devo pertanto mostrare che \( f = \alpha(\beta(f)) \).
Abbiamo che \( \alpha(\beta(f))(y)=\beta(f)(y) \)
e abbiamo che \( \beta(f)(y) = f(y) \). Dunque
\( \alpha(\beta(f))(y)=\beta(f)(y) = f(y) \). E siccome è verificato per ogni \( y \in Y \) e per ogni \( f \in \mathcal{F}(Y,X) \) (e poiché dominio e codominio di \( f \) coincidono con quelli di \( \alpha(\beta(f)) \) ) abbiamo che \( \alpha \circ \beta = id \).
Sì $f$ è $G$-equivariante ma per un motivo ovvio: $f:Y to X^G$ e l'azione di $G$ su $Y$ e su $X^G$ è banale. Non c'è bisogno di tirare in ballo $alpha(f)$.
Sì hai dimostrato correttamente che $alpha beta =$ id.
In pratica nel momento in cui $alpha$ e $beta$ sono ben definite tu sai già che $f$ e $alpha(beta(f))$ hanno lo stesso dominio e codominio quindi sei ridotto a verificare che la legge è la stessa. Ma questo è immediato ed è quello che hai fatto.
Sì hai dimostrato correttamente che $alpha beta =$ id.
In pratica nel momento in cui $alpha$ e $beta$ sono ben definite tu sai già che $f$ e $alpha(beta(f))$ hanno lo stesso dominio e codominio quindi sei ridotto a verificare che la legge è la stessa. Ma questo è immediato ed è quello che hai fatto.
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