Azione di un gruppo su un insieme

[natia88]

Sia g un gruppo e sia $varphi:G xx X->X$ un'azione. Sia H sottogruppo normale di G. Sia $X^H={x\in X |hx=x" per ogni "h\in H}$ l'insieme dei punti fissi di H. Allora il gruppo $K=G//H$ agisce su $X//H$ tramite $(gH,y)->gy$ e si ha $(X^H)^K=X^G$.


In generale un gruppo G agisce su un insieme X se esiste una funzione da $GxX->X$ denotata con $(g,x)->g*x$, tale che :
1) $1*x=x$ per ogni $x\in X$, dove 1 è l'elemento neutro di G;
2)$g*(h*x)=(gh)*x$ per ogni $x\in X$ e $g,h\in G$.
In questo caso:
1) $(1*h*y)=1*y=y$ per ogni $y\in X$, $h\in H$ e 1 è l'elemento neutro di G/H;
2)$(g*h*y)=g*h(y)=g(h(y))=(gh)(y)=(gh)*y$ per ogni $y\in X$ e $g,h\in G//H$.

Non credo sia giusto il secondo punto...e poi $(X^H)^K=X^G$ vale perchè H è sottogruppo normale di G?

[Martino]

[mod="Martino"]Attenzione: questo è un argomento di algebra, quindi va in algebra. Sposto.[/mod]

[natia88]

si,ho sbagliato gruppo...

[j18eos]

Il secondo punto è giusto e dalle ipotesi su [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] si ha che [tex]G=HK[/tex] da cui l'asserto!

[Martino]

"j18eos":Il secondo punto è giusto e dalle ipotesi su [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] si ha che [tex]G=HK[/tex] da cui l'asserto!

Non mi sembra che puoi dire [tex]HK=G[/tex], il prodotto tra H e K non è nemmeno canonicamente definito.

@natia88: con [tex]X/H[/tex] intendi le H-orbite di X?

In tal caso l'azione di [tex]gH \in K[/tex] sull'H-orbita di [tex]x[/tex], indichiamola [tex]O_H(x)[/tex], è data da [tex]O_H(gx)[/tex]. Essa è ben definita perché se [tex]h \in H[/tex] allora [tex]O_H(ghx) = O_H((ghg^{-1})gx) = O_H(gx)[/tex] essendo [tex]ghg^{-1} \in H[/tex].

Per mostrare che [tex](X^H)^K[/tex] è ben definito devi mostrare che [tex]K[/tex] agisce su [tex]X^H[/tex], e per questo è utile osservare che [tex]x \in X^H[/tex] se e solo se la H-orbita di [tex]x[/tex] è [tex]\{x\}[/tex]. Quindi [tex]gH \in K[/tex] agisce su [tex]X^H[/tex] mandando [tex]x[/tex] in [tex]gx[/tex], e questa azione è ben definita perché [tex]gx \in X^H[/tex] essendo [tex]hgx = g(g^{-1}hg)x = gx[/tex] per [tex]h \in H[/tex]. Ora [tex]X^G[/tex] è ovviamente contenuto in [tex]X^H[/tex] e quindi [tex](X^H)^K = \{x \in X^H\ |\ gx=x\ \forall g \in G\} = X^G[/tex].

[j18eos]

-_- quello che ho scritto è vero nell'ulteriore ipotesi che sia [tex]K\lhd G[/tex], il solito sbadato!

[Martino]

"j18eos":-_- quello che ho scritto è vero nell'ulteriore ipotesi che sia [tex]K\lhd G[/tex], il solito sbadato!

Osserva che qui [tex]K=G/H[/tex].

[j18eos]

"Sia [tex]G[/tex] un gruppo, [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] suoi sottogruppi normali tali che [tex]G=H\times K[/tex] allora a meno d'isomorfismi [tex]K=G/H[/tex]".

Ecco la "cosa" esatta!

EDIT: Per la fretta non ho scritto il [tex]\times[/tex]!

[Martino]

"j18eos":"Sia [tex]G[/tex] un gruppo, [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] suoi sottogruppi normali tali che [tex]G=HK[/tex] allora a meno d'isomorfismi [tex]K=G/H[/tex]".

Ecco la "cosa" esatta!

No, per esempio se [tex]H=K=G[/tex] evidentemente [tex]G/H=\{1\} \neq K[/tex]. Quello che dici è vero quando [tex]H \cap K = \{1\}[/tex].